AMC 12 năm 1974

Nếu $x\ne0$ hoặc $4$ và $y\ne0$ hoặc $6,$ thì $\frac2x+\frac3y=\frac12$ tương đương với

Đặt $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1\ne x_2$ và $3x_i^2-hx_i=b,$ $i=1,$ $2.$ Khi đó $x_1+x_2$ bằng

Hệ số của $x^7$ trong khai triển đa thức của $$
(1+2x-x^2)^4
$$ là

số dư là gì khi $x^{51}+51$ được chia cho $x+1?$

Cho một tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn có cạnh $AB$ kéo dài vượt quá $B$ đến điểm $E,$ nếu $\angle BAD=92^\circ$ và $\angle ADC=68^\circ,$ tìm $\angle EBC.$

Đối với số thực dương $x$ và $y$ xác định $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ thì

Dân số của một thị trấn đã tăng thêm $1{,}200$ người, và sau đó dân số mới này giảm $11\%.$ Thị trấn hiện có $32$ ít người hơn trước khi tăng $1{,}200$. Dân số ban đầu là gì?

Số nguyên tố nhỏ nhất chia tổng $3^{11}+5^{13}?$ là bao nhiêu

Các số nguyên lớn hơn một được sắp xếp thành 5 cột như sau:

$2$ $3$ $4$ $5$ $9$ $8$ $7$ $6$ $10$ $11$ $12$ $13$ $17$ $16$ $15$ $14$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$

(Bốn số nguyên liên tiếp xuất hiện ở mỗi hàng; ở hàng thứ nhất, thứ ba và các hàng lẻ khác, các số nguyên xuất hiện ở bốn cột cuối cùng và tăng dần từ trái sang phải; ở hàng thứ hai, thứ tư và các hàng chẵn khác, các số nguyên xuất hiện ở bốn cột đầu tiên và tăng dần từ phải sang trái.)

Số $1{,}000$ sẽ rơi vào cột nào?

Giá trị nguyên nhỏ nhất của $k$ sao cho $$
2x(kx-4)-x^2+6=0
$$ không có nghiệm thực?

Nếu $(a,b)$ và $(c,d)$ là hai điểm trên đường thẳng có phương trình là $y=mx+k,$ thì khoảng cách giữa $(a,b)$ và $(c,d),$ theo $a,$ $c,$ và $m,$ là

Nếu $g(x)=1-x^2$ và $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ khi $x\ne0,$ thì $f(\frac{1}{2})$ bằng

Câu nào sau đây tương đương với “Nếu $P$ đúng thì $Q$ sai”?

Câu nào đúng?

Nếu $x\lt-2$ thì $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ bằng

Một đường tròn bán kính $r$ nội tiếp bên phải tam giác cân và một đường tròn bán kính $R$ được ngoại tiếp quanh tam giác. Khi đó $\frac{R}{r}$ bằng

Nếu $i^2=-1,$ thì $(1+i)^{20}-(1-i)^{20}$ bằng

Nếu $\log_8 3=p$ và $\log_3 5=q,$ thì xét về $p$ và $q,$ $\log_{10}5$ bằng nhau

Trong hình bên cạnh $ABCD$ là hình vuông và $CMN$ là tam giác đều. Nếu diện tích của $ABCD$ là một inch vuông, thì diện tích của $CMN$ tính bằng inch vuông là

Hãy để $$
\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}
$$ sau đó