AMC 12 năm 1965

Số giá trị thực của $x$ thỏa mãn phương trình $2^{2x^2-7x+5}=1$ là:

Một hình lục giác đều được ghi trong một vòng tròn. Tỉ số giữa chiều dài một cạnh của hình lục giác với chiều dài cung ngắn hơn bị chặn bởi cạnh đó là:

Biểu thức $81^{-(2^{-2})}$ có cùng giá trị như:

Đường thẳng $l_2$ cắt đường thẳng $l_1$ và đường thẳng $l_3$ song song với $l_1.$ Ba đường thẳng phân biệt và nằm trong một mặt phẳng. Số điểm cách đều 3 đường thẳng là:

Khi số thập phân lặp lại $0.363636\ldots$ được viết ở dạng phân số đơn giản nhất thì tổng của tử số và mẫu số là:

Nếu $10^{\log_{10}9}=8x+5,$ thì $x$ bằng:

Tổng các nghịch đảo của các nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ là:

Một cạnh của một tam giác đã cho là $18$ inch. Bên trong tam giác, một đoạn thẳng được vẽ song song với cạnh này tạo thành một hình thang có diện tích bằng một phần ba đường thẳng của tam giác. Chiều dài của đoạn này, tính bằng inch, là:

Đỉnh của parabol $y=x^2-8x+c$ sẽ là một điểm trên trục $x$ nếu giá trị của $c$ là:

Câu lệnh $x^2-x-6\lt0$ tương đương với câu lệnh:

Hãy xem xét các tuyên bố:

$$
\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}
$$

$$
\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},
$$

và

$$
\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.
$$

Trong số những điều sau đây là *không chính xác*:

Một hình thoi được nội tiếp trong tam giác $ABC$ sao cho một trong các đỉnh của nó là $A$ và hai cạnh của nó nằm dọc theo $AB$ và $AC.$ Nếu $AC=6$ inch, $AB=12$ inch và $BC=8$ inch thì cạnh của hình thoi, tính bằng inch, là:

Gọi $n$ là số cặp số $(x,y)$ thỏa mãn $5y-3x=15$ và $x^2+y^2\leq16.$ Khi đó $n$ là:

Tổng các hệ số số trong khai triển hoàn chỉnh của $(x^2-2xy+y^2)^7$ là:

Ký hiệu $25_b$ biểu thị một số có hai chữ số trong cơ số $b.$ Nếu số $52_b$ gấp đôi số $25_b,$ thì $b$ là:

Cho đường thẳng $AC$ vuông góc với đường thẳng $CE.$ Nối $A$ với trung điểm $D$ của $CE,$ và nối $E$ với trung điểm $B$ của $AC.$ Nếu $AD$ và $EB$ cắt nhau tại điểm $F,$ và $BC=CD=15$ inch, thì diện tích của tam giác $DFE,$ tính bằng inch vuông là:

Cho phát biểu đúng: Chuyến dã ngoại vào Chủ nhật sẽ không chỉ được tổ chức nếu thời tiết không đẹp. Khi đó chúng ta có thể kết luận rằng:

Nếu $1-y$ được sử dụng làm giá trị gần đúng của $\dfrac1{1+y},$ $|y|\lt1,$ thì tỷ lệ giữa lỗi xảy ra với giá trị đúng là:

Nếu $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ chính xác là chia hết cho $x^3+3x^2+9x+3,$ thì giá trị của $(p+q)r$ là:

Với mọi $n$ tổng $S_n$ của $n$ số hạng của một cấp số cộng là $2n+3n^2.$ Số hạng thứ $r$ là: