AMC 12 năm 1964

Giá trị của $\left[\log_{10}\left(5\log_{10}100\right)\right]^2?$ là bao nhiêu

Đồ thị của $x^2-4y^2=0$ là:

Khi một số nguyên dương $x$ được chia cho một số nguyên dương $y,$ thì thương số là $u$ và số dư là $v,$ trong đó $u$ và $v$ là số nguyên. số dư là gì khi $x+2uy$ được chia cho $y?$

biểu thức

$$
\frac{P+Q}{P-Q}-\frac{P-Q}{P+Q},
$$

trong đó $P=x+y$ và $Q=x-y,$ tương đương với:

Nếu $y$ thay đổi trực tiếp thành $x,$ và nếu $y=8$ khi $x=4,$ thì giá trị của $y$ khi $x=-8$ là:

Nếu $x,$ $2x+2,$ $3x+3,$ $\ldots$ ở cấp số nhân, thì số hạng thứ tư là:

Đặt $n$ là số giá trị thực của $p$ mà nghiệm của

$$
x^2-px+p=0
$$

đều bình đẳng. Khi đó $n$ bằng:

Căn nguyên nhỏ hơn của phương trình

$$
\begin{aligned} &\left(x-\frac34\right)\left(x-\frac34\right)\\ &\quad+\left(x-\frac34\right) \left(x-\frac12\right)=0 \end{aligned}
$$

là:

Một người làm công mua một mặt hàng với giá $\$24$ ít hơn $12\dfrac12\%.$ Sau đó, anh ta muốn bán mặt hàng đó với mức lãi là $33\dfrac13\%$ so với chi phí của mình sau khi cho phép giảm giá $20\%$ trên mức giá đã đánh dấu của mình. Ở mức giá nào, bằng đô la, bài viết nên được đánh dấu?

Cho một hình vuông có cạnh dài $s.$ Trên đường chéo làm đáy, một hình tam giác có ba cạnh không bằng nhau được dựng sao cho diện tích của nó bằng hình vuông. Độ dài đường cao vẽ tới đáy là:

Cho $2^x=8^{y+1}$ và $9^y=3^{x-9},$ tìm giá trị của $x+y.$

Câu nào sau đây là phủ định của mệnh đề: Với mọi $x$ của một tập hợp nhất định, $x^2\gt0?$

Một đường tròn nội tiếp trong một tam giác có độ dài các cạnh $8,$ $13,$ và $17.$ Đặt các đoạn của cạnh có độ dài $8,$ tạo bởi một điểm tiếp tuyến, là $r$ và $s,$ với $r\lt s.$ Tỉ lệ là bao nhiêu $r:s?$

Một người nông dân đã mua $749$ con cừu. Anh ta đã bán $700$ chúng với giá trả cho con cừu $749$. Số $49$ còn lại được bán với cùng mức giá tính trên đầu con như $700.$ khác Dựa trên chi phí, phần trăm lãi trên toàn bộ giao dịch là:

Một đường thẳng đi qua điểm $(-a,0)$ cắt từ góc phần tư thứ hai một vùng hình tam giác với diện tích $T.$ Phương trình của đường thẳng là:

Đặt $f(x)=x^2+3x+2$ và đặt $S$ là tập hợp các số nguyên $\{0,1,2,\ldots,25\}.$ Số thành viên $s$ của $S$ sao cho $f(s)$ có số dư 0 khi chia cho $6$ là:

Cho các điểm phân biệt $P(x_1,y_1),$ $Q(x_2,y_2)$ và $R(x_1+x_2,y_1+y_2).$ Các đoạn thẳng được vẽ nối các điểm này với nhau và với gốc $O.$ Trong ba khả năng: $(1)$ hình bình hành, $(2)$ đường thẳng, $(3)$ hình thang, hình $OPRQ,$ tùy thuộc vào vị trí của các điểm $P,$ $Q,$ và $R,$ có thể là:

Đặt $n$ là số cặp giá trị của $b$ và $c$ sao cho $3x+by+c=0$ và $cx-2y+12=0$ có cùng một đồ thị. Khi đó $n$ là:

Nếu $2x-3y-z=0$ và $x+3y-14z=0,$ $z\ne0,$ thì giá trị số của $\dfrac{x^2+3xy}{y^2+z^2}$ là:

Tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển $(x-2y)^{18}$ là: