VMO 1979 — Bảng A

Chứng minh rằng với mọi $x\gt 1$ tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số $P_1(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1$, $P_2(x)=2x^3+x^2+2x+1$, và $P_3(x)=x^4-1$. Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác đó góc lớn nhất đều như nhau và hãy xác định giá trị của nó.

Cho phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ có ba nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt) là $t,u,v$. Với những giá trị nào của $a,b,c$ thì các số $t^3,u^3,v^3$ là nghiệm đúng phương trình $x^3+a^3x^2+b^3x+c^3=0$?

Hãy chia một mảnh vườn hình tam giác $ABC$ có ba cạnh không bằng nhau bằng đoạn thẳng $AM$ sao cho hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có tỉ số diện tích bằng tỉ số chu vi tương ứng.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $2\cos n\theta$ là một đa thức bậc $n$ của $2\cos\theta$.

Tìm tất cả những số $\alpha$ sao cho phương trình $x^2-2x[x]+x-\alpha=0$ có hai nghiệm số không âm. (Ở đó $[x]$ là phần nguyên của số $x$.)

Trong không gian cho hai hình chữ nhật bằng nhau $ABCD$ và $ABEF$ có $AB=m$, $BC=BE=m\sqrt2$. Hãy xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng của hai hình chữ nhật nói trên để sao cho $CA$ vuông góc với $BF$. Trong trường hợp ấy hãy xác định vị trí và kích thước tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên $CA$ và hai đỉnh còn lại nằm trên $BF$.