PIMSO 2025 - Toán - Lớp 9 - Vòng Quốc gia

Tìm số dư khi chia $\frac{32^{405}}{2^{25}}$ cho 9.

Số mũ lớn nhất của lũy thừa cơ số 8 là ước của $90!$ là n. Số mũ lớn nhất của lũy thừa cơ số 25 là ước của $90!$ là m. Tính m+n.

Phân tích ra thừa số nguyên tố của tích các ước của 15 là $3^2\times5^2$. Số mũ lớn nhất trong phân tích ra thừa số nguyên tố của tích các ước của 140 là bao nhiêu? Gợi ý: với số nguyên dương n, tích tất cả các ước dương bằng $n^{d(n)/2}$, trong đó d(n) là số ước dương của n.

Có bao nhiêu số từ 1 đến 1500 nguyên tố cùng nhau với cả 8 và 15? Gợi ý: hai số nguyên nguyên tố cùng nhau nếu ước chung dương duy nhất là 1, tức ước chung lớn nhất bằng 1.

Có bao nhiêu cặp có thứ tự (a,b) thỏa mãn ab=7657, nếu a và b là các số nguyên?

Tính tổng tất cả các ước là số lập phương hoàn hảo của 10 125.

Có bao nhiêu độ dài cạnh khác nhau của một hình vuông có diện tích nằm giữa $4^8$ và $7^{12}$?

Các lựa chọn gốc: A. 117649; B. 117393; C. 117392; D. 117648.

Ghi chú biên soạn: Giải thích điểm hạn chế của nguồn và cách hiểu có điều kiện; câu này chấm thủ công.

Cho $A=\{p,i,m,s,o\}$ và $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, đặt $D=A\times B=\{p,i,m,s,o\}\times\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. D có bao nhiêu tập con? Gợi ý: $M=\{1,2\}$, $N=\{3,4,5\}$, $M\times N\;\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$. Tập con: tập có mọi phần tử đều thuộc một tập khác.

Nếu $c\lt b\lt0$, $a>0$ và $|c|>|b|>|a|$, hãy rút gọn $2|a+b|+|c+b|+|c+a|$.

Nếu 475x+1900y là số chính phương và x,y đều là các số nguyên dương, tìm giá trị nhỏ nhất của x+y.

Trong phương trình 15x+16y+17z=208, x,y,z là các số nguyên. Tính 4(x+y+z).

Các lựa chọn gốc: A. 52; B. 50; C. 48; D. 46.

Ghi chú biên soạn: Giải thích điểm hạn chế của nguồn và cách hiểu có điều kiện; câu này chấm thủ công.

Tìm tổng các hệ số của đa thức $(7x^3-2x+14)(11+2x-8x^2)^2(2x-8)^3$.

Tìm phần dư khi chia $(x+5)^{2019}+(x+4)^{2021}$ cho $x^2+9x+20$.

Trong buổi dã ngoại của công ty, ban tổ chức chuẩn bị đồ ăn và đồ uống: cứ 12 nhân viên dùng chung 5 bánh pizza; cứ 6 nhân viên dùng chung 3 tô salad; cứ 9 nhân viên dùng chung 2 chai nước ép. Người điều phối nhận thấy tổng số bánh sandwich, tô salad và chai nước ép nhiều hơn số nhân viên 15. Có bao nhiêu nhân viên dự buổi dã ngoại?

Tứ giác PHIL là hình chữ nhật. B là trung điểm PH. Diện tích các tam giác JAG và CID lần lượt là 60 cm² và 20 cm². Diện tích các tứ giác FECH và JEDL lần lượt là 420 cm² và 480 cm². Tìm diện tích tam giác BFG.



Các lựa chọn gốc: A. 20 cm²; B. 25 cm²; C. 30 cm²; D. 35 cm².

Ghi chú biên soạn: Giải thích điểm hạn chế của nguồn và cách hiểu có điều kiện; câu này chấm thủ công.

Trong hình, các cung PMS và HIR thuộc hai đường tròn đồng tâm O. Các góc ở tâm HIO và IOR lần lượt là 15° và 30°. Cung HI dài $\frac{3\pi}{4}$ m. Tỉ số bán kính OS:OR bằng 4:3. Tìm diện tích phần tô đậm, dùng $\pi=\frac{22}{7}$.

Trong công viên có vườn dài 72 m, rộng 52 m, được chia thành bốn phần như hình. Biết AB=KY=48 m, MN=HU=38 m và diện tích tứ giác MAON bằng 816 m². Tìm diện tích BAOU.



Các lựa chọn gốc: A. 684 ²; B. 792 m²; C. 936 m²; D. 1056 m².

Ghi chú biên soạn: Giải thích điểm hạn chế của nguồn và cách hiểu có điều kiện; câu này chấm thủ công.

Đường chéo AB của hình lập phương dài $\sqrt{432}$ cm. Thể tích hình lập phương bằng bao nhiêu lít?

Chu vi tam giác có các đỉnh A(1,2), B(3,-4), C(-2,-3) có dạng $x\sqrt{5x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}$. Tính x+y+z.

Góc TOA bằng 120°. Tính $(\sin\theta+\cos\theta)^2$.