PIMSO 2025 - Toán - Lớp 11–12 - Vòng Quốc gia

Số dư của $\frac{3^{677}}{9^{45}}$ khi chia cho 80 là n. Tìm n.

Số mũ lớn nhất của 200 trong $90!$ là $n$. Số mũ lớn nhất của 9 trong $30!$ là $m$. Tính $m\times n$.

Tìm tổng các hệ số của đa thức $(-3x^3-x^2+7x+11)^2(12+5x-11x^2)^3$.

Tìm số dư khi chia $1!+2!+3!+\cdots+2023!+2024!+2025!$ cho 14.

Có n cặp có thứ tự (a, b) thỏa mãn $ab=2^4\times3^2\times442$. Nếu a, b là số nguyên thì n bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu ước của $(2.4\times10^3)\div(3\times10^{-2})$ là số chính phương?

Cho $A=\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_m\}$, $B=\{b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n\}$ và $C=\{c_1,c_2,c_3,\ldots,c_l\}$. Khi đó $A\times B\times C=\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_m\}\times\{b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n\}\times\{c_1,c_2,c_3,\ldots,c_l\}$. Tìm số phần tử của tập lũy thừa của $A\times B\times C$.

Cho R, F khác 0 là hai nghiệm của $x^2-3x-s=0$ với $s\ne0$. Nếu $RF$ và $R-F$ là hai nghiệm của $(p+1)x^2-mx+s=0$, tìm $p+1+m+s$.

Các lựa chọn gốc: A. -1; B. 0; C. 1; D. 2.

Ghi chú biên soạn: Điều kiện in trong đề không bảo đảm một đáp án hợp lệ duy nhất. Hãy giải thích vấn đề của nguồn thay vì chọn đáp án tự động.

Căn bậc hai của tổng chuỗi vô hạn $\{\frac52,\frac56,\frac5{12},\frac5{20},\ldots\}$ là bao nhiêu?

Có 16 quyển sách khác nhau cần đặt vào ba kệ có nhãn X, Y, Z. Kệ Y có nhiều hơn X một quyển; kệ Z có nhiều hơn Y hai quyển; mỗi quyển được đặt đúng một kệ. Có bao nhiêu cách phân phối sách vào ba kệ theo các điều kiện đó?

Tìm phần dư khi chia $(x-2)^{2019}+(x-3)^{2021}$ cho $x^2-5x+6$. Gợi ý: dùng định lý phần dư.

Nếu $189x+567y$ là số chính phương, x và y đều nguyên dương, tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2$.

Chu vi tam giác có A(1,2), B(3,−4), C(−2,−3) có dạng $x\sqrt{2y}+\sqrt{2z}+\sqrt{2s}$. Tính $x+y+z\times s$ nếu $y<s<z$.

Các cạnh của một tứ giác nội tiếp là 6,8,10,12 cm. Nếu diện tích có dạng $a\sqrt b$, tìm a+b. Gợi ý: tứ giác nội tiếp là tứ giác có cả bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Nếu $(3+x)(3+x^2)(3+x^3)\cdots(3+x^{100})=\sum_{r=0}^n a_nx^r$ thì n bằng bao nhiêu?

Tìm a+b trong khai triển $(ax+by)^{10}$ nếu hệ số số hạng thứ ba của $(ax+by)^9$ là 36 và hệ số số hạng thứ tư của $(ax+by)^9$ là 84.

Mỗi đơn vị lưới dưới đây dài 1 cm. Tìm diện tích phần tô đậm.

Nếu $x\in\{1,2,3,\ldots,9\}$ và $f_n(x)=xxx\ldots x$ (n chữ số), thì $f_n^2(3)+f_n(2)$ bằng gì?

Tứ giác PHIL dưới đây là hình chữ nhật. B là trung điểm PH. Diện tích các tam giác JAG và CID lần lượt là 60 cm² và 20 cm². Diện tích các tứ giác FECH và JEDL lần lượt là 420 cm² và 480 cm². Tìm diện tích tam giác BFG.



Các lựa chọn gốc: A. 20 cm²; B. 25 cm²; C. 30 cm²; D. 35 cm².

Ghi chú biên soạn: Điều kiện in trong đề không bảo đảm một đáp án hợp lệ duy nhất. Hãy giải thích vấn đề của nguồn thay vì chọn đáp án tự động.

Debby đi 10 m về Đông, rẽ trái đi 4 m, rẽ phải đi 3 m, lại rẽ phải đi 2 m, rẽ trái đi 6 m, rẽ trái đi 8 m, cuối cùng rẽ trái đi 9 m. Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm đầu và điểm cuối là bao nhiêu?