PIMSO 2023 - Toán - Senior Secondary - Vòng Quốc gia

Trong dãy $1,4,7,10,13,\ldots,2023$, có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Phương trình $1/a+1/b+1/c=1/2$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương $(a,b,c)$ với $a,b,c$ đôi một khác nhau?

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương thì phương trình $a+b+c=10$ có bao nhiêu nghiệm $(a,b,c)$?

Cho dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$, $a_1=1$ và $a_2=2023$. Tính $a_{2023}$.

Nếu $1+3+5+\ldots+2023=k^2$ thì $k$ bằng bao nhiêu?

Lưu ý biên soạn: Để chấm tự động, lấy giá trị dương của k theo ý định của đáp án nguồn; đề gốc thiếu điều kiện này.

Tính: $1/3+1/15+1/35+1/63+\ldots+1/399$.

Dùng cho các câu 7-9
Một giáo sư đang sắp xếp lịch tư vấn cho các sinh viên John, Dan, Emily, Ashley, Ben và Eli. Mỗi ngày cô gặp đúng một sinh viên vào giờ ăn trưa, riêng thứ Sáu cô gặp hai sinh viên sau giờ học. Các điều kiện:
- Lịch của Ashley trước Ben nhưng sau Eli
- Cô gặp một sinh viên nam vào thứ Tư
- John là một trong những sinh viên gặp cô vào thứ Sáu
- Dan không thể gặp cô vào thứ Sáu
- Lịch của Emily sau sinh viên gặp cô vào thứ Tư

Có bao nhiêu sinh viên có thể được xếp lịch vào thứ Hai?

Lưu ý biên soạn: Giả sử lịch trong tuần thứ Hai-thứ Sáu, mỗi sinh viên gặp một lần và "trước/sau" chỉ ngày sớm/muộn hơn. Theo cách hiểu tên mà đề dự kiến, John, Dan, Ben, Eli là nam; Emily, Ashley là nữ. Đề không nêu rõ giới tính.

Dùng cho các câu 7-9
Một giáo sư đang sắp xếp lịch tư vấn cho các sinh viên John, Dan, Emily, Ashley, Ben và Eli. Mỗi ngày cô gặp đúng một sinh viên vào giờ ăn trưa, riêng thứ Sáu cô gặp hai sinh viên sau giờ học. Các điều kiện:
- Lịch của Ashley trước Ben nhưng sau Eli
- Cô gặp một sinh viên nam vào thứ Tư
- John là một trong những sinh viên gặp cô vào thứ Sáu
- Dan không thể gặp cô vào thứ Sáu
- Lịch của Emily sau sinh viên gặp cô vào thứ Tư

Cuộc hẹn của Ashley có thể vào ngày nào trong các ngày trong tuần sau đây?

Lưu ý biên soạn: Giả sử lịch trong tuần thứ Hai-thứ Sáu, mỗi sinh viên gặp một lần và "trước/sau" chỉ ngày sớm/muộn hơn. Theo cách hiểu tên mà đề dự kiến, John, Dan, Ben, Eli là nam; Emily, Ashley là nữ. Đề không nêu rõ giới tính. Nguồn không in lựa chọn; trả lời bằng tên ngày.

Dùng cho các câu 7-9
Một giáo sư đang sắp xếp lịch tư vấn cho các sinh viên John, Dan, Emily, Ashley, Ben và Eli. Mỗi ngày cô gặp đúng một sinh viên vào giờ ăn trưa, riêng thứ Sáu cô gặp hai sinh viên sau giờ học. Các điều kiện:
- Lịch của Ashley trước Ben nhưng sau Eli
- Cô gặp một sinh viên nam vào thứ Tư
- John là một trong những sinh viên gặp cô vào thứ Sáu
- Dan không thể gặp cô vào thứ Sáu
- Lịch của Emily sau sinh viên gặp cô vào thứ Tư

Nếu Emily KHÔNG có lịch vào thứ Năm thì ai có thể có lịch vào ngày đó?

Lưu ý biên soạn: Giả sử lịch trong tuần thứ Hai-thứ Sáu, mỗi sinh viên gặp một lần và "trước/sau" chỉ ngày sớm/muộn hơn. Theo cách hiểu tên mà đề dự kiến, John, Dan, Ben, Eli là nam; Emily, Ashley là nữ. Đề không nêu rõ giới tính. Nêu cả hai tên có thể.

Tính tổng cấp số nhân vô hạn: $2+1+1/2+1/4+\ldots$.

Ana, Ben, Carla và Dan ngồi trên một hàng gồm bốn ghế đánh số từ #1 đến #4. Jim nhìn họ và nói:
"Ben ngồi cạnh Carla."
"Anna ngồi giữa Ben và Carla."
Tuy nhiên, mỗi phát biểu của Jim đều sai. Ben thực sự ngồi ở ghế #3. Ai ngồi ở ghế #2?

Lưu ý biên soạn: Hiểu "Anna" trong phát biểu là cùng người với "Ana" trong danh sách.

Vòi cấp nước mất 10 giờ để làm đầy một bể. Vòi thoát nước có thể tháo cạn bể trong 15 giờ. Nếu ban đầu bể đầy một nửa và cả hai vòi cùng mở thì cần bao lâu để làm đầy bể?

Cho $f$ là đa thức bậc 5 có hệ số dẫn đầu bằng 1. Nếu $f(k)=2k$ với $k=1,2,\ldots,5$ thì $f(6)$ bằng bao nhiêu?

Nếu $x^2-5x+1=0$ thì $|x^2-1/x^2|$ bằng bao nhiêu?

Lưu ý biên soạn: Nhập biểu thức chính xác, dùng sqrt(...) để viết căn bậc hai.

Phân tích hoàn toàn thành nhân tử: $x^4+4y^4$.

Lưu ý biên soạn: Phân tích trên tập hệ số nguyên (trong bài này cũng là các nhân tử đa thức thực). Dùng ^ để viết lũy thừa và dấu ngoặc để viết các nhân tử.

Nếu $a,b,c$ là các nghiệm của phương trình $x^3+2x^2+3x+4=0$ thì $1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)$ bằng bao nhiêu?

Nếu $x^2+y^2+z^2+w^2=100$ thì giá trị lớn nhất của $x+y+z+w$ bằng bao nhiêu?

Lưu ý biên soạn: Các biến được hiểu là số thực, theo quy ước thông thường của bài tìm giá trị lớn nhất.

Nếu $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=12$, $a>1$, $b>2$, $c>3$ thì giá trị lớn nhất của $(a-1)(2b-4)(3c-9)$ bằng bao nhiêu?

Tìm bán kính của hình tròn được tô màu bên dưới: (Đáp án: 2/3)

Lưu ý biên soạn: Đề nguồn ghi sẵn đáp án trong câu hỏi; phần này được giữ nguyên. Hiểu hình là hai đường tròn trắng bằng nhau đường kính 2, tiếp xúc nhau và tiếp xúc đường tròn ngoài đường kính 4; đường tròn tô màu tiếp xúc cả ba. Các quan hệ này được thể hiện qua hình, không nêu bằng lời.

Diện tích tam giác có độ dài các cạnh 13, 14 và 15 bằng bao nhiêu?