HKIMO 2019 Khối 10-11-12 Vòng quốc gia (Heat) Đề 02

Túi có n quả mỗi màu: xanh lam, vàng, đỏ, xanh lá và tím. Sau khi lấy 67 quả, các quả còn lại đều đỏ. Tìm hiệu giữa n lớn nhất và nhỏ nhất.

n đường thẳng chia hình tròn thành 154 phần. Tìm n nhỏ nhất.

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa $-7<(6-x^2)/9<5$?

Có 243 quả bóng. Peter và Mary luân phiên lấy 6 đến 12 quả; ai lấy quả cuối thắng. Peter đi trước và được thêm bóng trước khi chơi. Ít nhất cần thêm bao nhiêu quả để chắc thắng?

Hộp có 22 tất đỏ,36 tất trắng,25 tất xanh. Lấy ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc có 3 đôi không trắng và 1 đôi không xanh?

Quy ước: một đôi gồm hai chiếc cùng màu; các đôi cần tìm không dùng chung chiếc tất.

Tìm hệ số của $x^2$ trong $(x^2+2x-2)^4$.

Nếu $x=5-\dfrac{18}{2+\dfrac1{5-\dfrac{18}{2+\cdots}}}$, tìm giá trị nhỏ nhất của x.

Cách hiểu biên tập: phân số lặp được hiểu qua phương trình điểm bất động tự đồng dạng; đề không chỉ định dãy cắt hữu hạn nào.

Phân tích $x^4+2x^3-9x^2-2x+8$ thành nhân tử.

Tìm x nếu $\log_3(x^{\log_3 12})-\log_3(4^{\log_3 x})=81$.

Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất để $(k+1)x^2+(k-2)x-11=0$ có nghiệm thực.

Tìm số nguyên dương x nhỏ nhất thỏa $3x\equiv6\pmod5$, $7x\equiv4\pmod{12}$.

Tìm số dư khi chia $37^{30}$ cho 11.

Tìm hai chữ số cuối của $A=6+13+20+\cdots+(6+7\times98)+(6+7\times99)$.

Nếu $100!/6^n$ là số nguyên dương, tìm số nguyên n lớn nhất.

Nếu $k^2+(n-223)k-899=0$ và $n=1+3+5+\cdots+k$, tìm k.

Tìm diện tích miền giới hạn bởi trục Ox và hai đường $x=7y-6$, $3y=5+2x$.

Với góc nhọn x có $\sin x=24/25$, tính $(1/\cos x-\tan x)\cos^2x$.

Một góc trong của đa giác đều n cạnh bằng $(12n+6)^\circ$. Tìm n.

Bể chữ nhật dài 16 cm, rộng 15 cm, cao 17 cm, ban đầu chứa nước sâu 2 cm. Đặt vào hai khối lập phương cạnh 7 cm. Mực nước tăng nhiều nhất bao nhiêu cm?

Quy ước mô hình: khối đặc không nổi, các mặt song song với bể; nước bảo toàn, không giữ kín khí hoặc nước. Câu hỏi tìm độ tăng, không phải độ sâu cuối.

Tam giác có ba cạnh 17,13,12 và diện tích $12\sqrt{a\times b\times c}$, với $a\ne b\ne c\ne1$. Tìm a+b+c.