HKIMO 2017 Khối 10-11-12 Vòng quốc gia (Heat) Đề 04

Cho $A,B,C$ là các chữ số khác $0$. Số có ba chữ số $\overline{ACB}$ chia hết cho $9$, và $\overline{BCB}$ là số lập phương. Tìm $\overline{AAB}$.

Trong mặt phẳng có $n$ đường thẳng đôi một không song song, không có ba đường đồng quy. Chúng tạo $105$ giao điểm. Tìm $n$.

Andy đi $99$ km về bắc, $15$ km về đông, $78$ km về nam rồi $87$ km về tây. Anh cách điểm xuất phát bao nhiêu km?

Ngày 1 tháng 9 năm 2018 là Thứ Bảy. Ngày 21 tháng 9 năm 2078 là thứ mấy?

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Dùng lịch Gregory.

Trộn $15$ chiếc đũa trắng, $16$ chiếc vàng và $12$ chiếc nâu. Nhắm mắt lấy đũa. Ít nhất phải lấy bao nhiêu chiếc để chắc chắn có một đôi không trắng và một đôi khác không vàng?

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Một đôi gồm hai đũa cùng màu; hai đôi phải dùng bốn chiếc khác nhau.

Tính $\binom81+9\binom82+9^2\binom83+\cdots+9^6\binom87+9^7\binom88$.

Tìm hệ số của $x$ trong $(x+1/x)^4(x-1/x)^5$.

Tính $\sqrt{6-\sqrt{6-\sqrt{6-\cdots}}}$.

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Dùng giới hạn của các căn lồng hữu hạn, bắt đầu từ số không ở trong cùng.

Với $a$ nguyên, tìm $a$ nhỏ nhất để $(a+2)x^2+ax-7=0$ không có nghiệm thực.

Phân tích $6x^4-x^3-14x^2-x+6$ thành nhân tử.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $x$ thỏa $3x\equiv1\pmod5$ và $5x\equiv1\pmod7$.

Hiện tại là tháng Sáu. Sau $7^{38}$ tháng sẽ là tháng mấy?

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ để $\sqrt{x^2-22x+221}$ là số nguyên?

Tìm số nguyên $n$ lớn nhất để $2018!/20^n$ là số nguyên dương.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $n^{210}\ge11^{280}$.

Tính diện tích miền giới hạn bởi trục $Ox$ và hai đường thẳng $4x-3y=1$, $y=-3x/5-2/5$.

Một tam giác có ba cạnh $2x,3x,4x$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$. Tính $x/r$.

Trong tam giác $ABC$, $BC=10$, $AB=13$, và $\angle ACB=45^\circ$. Tính diện tích tam giác.

Biết $\sin x=\sqrt3\cos x$, tính $\left|\tan x/\cos x\right|$.

Một bể hộp chữ nhật dài $18$ cm, rộng $15$ cm, cao $12$ cm. Nước ban đầu sâu $7$ cm. Đặt một khối lập phương cạnh $9$ cm vào bể. Mực nước dâng thêm bao nhiêu cm?

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Khối đặc đặt một mặt trên đáy và không hút nước.