AIMO 2021 Senior secondary — Vòng loại (Open Trial 1)

Số 2020 có bao nhiêu ước nguyên dương?

Dùng công thức $\tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$, biểu diễn $\tan15^\circ$ dưới dạng chứa căn thức.

Với $\sum_{i=a}^{b}f(i)=f(a)+f(a+1)+\cdots+f(b)$, tính $\sum_{i=1}^{10}\frac1{(2i-1)(2i+1)}$.

ABCD là hình vuông. E thuộc AD và F thuộc AB, với $DE=2AE$, $AF=2BF$. Tính tỉ số diện tích tam giác CEF và diện tích hình vuông ABCD.

Từ ba nam và bốn nữ, có thể lập bao nhiêu ban gồm một nam và ba nữ?

Bốn cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật lần lượt dài $2x-3,3x+2,y-1,2y+3$. Tính diện tích.

Đề cho rằng 1812 viết được thành hiệu hai lập phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Tính tổng hai số đó. Bản gốc in “1812” trên cùng một dòng cơ sở.

Các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $11x-29y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x+y$.

Cho $x=\arctan(1/2)+\arctan(1/3)$, với $0<x<\pi$. Tính x theo radian.

Trong phép toán chữ TEN+TEN+FORTY=SIXTY, tìm Y. Dùng quy ước thông thường: các chữ khác nhau biểu diễn các chữ số thập phân khác nhau và chữ số đầu khác 0.

E là trung điểm CD của hình vuông ABCD. BE cắt đường chéo AC tại F. Tứ giác AFED có diện tích 45. Tính diện tích hình vuông.

Với $x,y$ thực, tìm giá trị nhỏ nhất của $2x^2+4xy+3y^2+6y+4$.

Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Tính $[1^2/2]+[2^2/2]+[3^2/2]+\cdots+[20^2/2]$.

Các phương án in trong bản gốc: A: 20; B: 1435; C: 140; D: 1260.

Hình thức biên tập: trả lời trực tiếp; giữ nguyên các phương án để đối chiếu nguồn. Xem phần lời giải để biết vấn đề của bản gốc.

Một túi có ba viên bi đỏ và bốn viên bi xanh. Lấy hai viên không hoàn lại. Biết viên đầu là xanh, xác suất viên thứ hai cũng xanh là bao nhiêu?

Cho $a_1=2,a_2=-1$ và $a_{n+2}=a_n+2a_{n-1}$ với số tự nhiên $n\ge1$. Tìm $a_7$.

Parabol $y=(x-20)^2-16$ cắt trục hoành tại A,B và đường thẳng $x+y=10$ tại C,D. Tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh này.

Số nguyên n thỏa mãn $0\le n<9$ và $9\mid n^2-3n+5$. Tính tổng các giá trị dương có thể của n.

Biết $\cos(2\pi/7)+\cos(4\pi/7)+\cos(6\pi/7)=-0.5$. Tính $\sum_{k=1}^{6}\cos^2(k\pi/7)$.

Tính liên phân số vô hạn $5+\frac{15}{5+\frac{15}{5+\frac{15}{5+\cdots}}}$.

Tính tổng mọi số có bốn chữ số được tạo bởi các chữ số 1,2,5,6. Quy ước biên tập: dùng mỗi chữ số đã cho đúng một lần.