SMO 2016 - Junior - Vòng 2

Tìm tất cả số nguyên $n$ sao cho $n^2+24n+35$ là số chính phương.

Cho dãy số $a_1,a_2,\ldots,a_9$ thỏa $0\lt p\le a_i\le q$ với mỗi $i=1,2,\ldots,9$. Chứng minh rằng $$\frac{a_1}{a_9}+\frac{a_2}{a_8}+\cdots+\frac{a_9}{a_1}\le1+\frac{4(p^2+q^2)}{pq}.$$

Trong tam giác $ABC$ có $\angle A=90^\circ$, đường phân giác của $\angle B$ cắt đường cao $AD$ tại $E$, và phân giác của $\angle CAD$ cắt cạnh $CD$ tại $F$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $G$. Chứng minh $B,E,G$ thẳng hàng.

Một đoàn du khách đi trên 10 xe buýt ở lượt đi. Cũng đoàn đó đi trên 8 xe buýt ở lượt về. Giả sử mỗi xe chở ít nhất 1 du khách. Chứng minh có ít nhất 3 du khách mà xe họ đi ở lượt về có nhiều người hơn xe họ đi ở lượt đi.

Xác định số đường thẳng ít nhất có thể vẽ trong mặt phẳng để chúng cắt nhau tại đúng 200 điểm phân biệt.

(Lưu ý: để có 3 điểm phân biệt, số đường ít nhất là 3; để có 4 điểm phân biệt, số đường ít nhất là 4.)