SMO 2022 - Junior - Vòng 1

Trong năm số $30^2$, $10^3$, $5^4$, $4^5$, $3^6$, số nào lớn nhất?

Adele có một giỏ gồm một quả táo, hai quả chuối và ba quả cam, còn Betty có một giỏ gồm hai quả táo và ba quả cam. Giả sử mỗi người chọn ngẫu nhiên một quả từ giỏ của mình, xác suất để hai người chọn được một quả táo và một quả cam là bao nhiêu?

Hình dưới biểu diễn một hệ cân treo từ trần với ba loại quả cân. Cân nghiêng xuống về phía nặng hơn. Nếu dùng $\square\lt \triangle$ để chỉ quả cân vuông nhẹ hơn quả cân tam giác, khẳng định nào sau đây đúng?

Một cửa hàng bán hai loại bánh có nhân kem hoặc mứt, không phân biệt được cho đến khi cắn bánh. Bốn nhà toán học đến cửa hàng và gọi (không nhất thiết theo thứ tự ấy): ba bánh kem; hai bánh kem và một bánh mứt; một bánh kem và hai bánh mứt; ba bánh mứt. Mỗi người biết chính xác những người khác đã gọi gì. Không may, chủ cửa hàng nhầm các đơn và đưa cho mỗi nhà toán học một đơn sai!

Các nhà toán học bắt đầu ăn, tất cả vẫn chưa biết sự nhầm lẫn, cho đến khi chủ cửa hàng đến báo lỗi. Nhà toán học A nói: “Tôi đã ăn hai bánh, cả hai đều có nhân kem. Vậy nếu đơn của tôi sai, giờ tôi biết bánh thứ ba thuộc loại nào.” Nhà toán học B nói tiếp: “Tôi chỉ ăn một bánh và nó có nhân kem. Dựa vào điều A nói và vì tôi nhớ đơn của A, giờ tôi biết hai bánh còn lại thuộc loại nào.” Cuối cùng, nhà toán học C nói: “Tôi chưa bắt đầu ăn nhưng chắc chắn tôi đã nhận ba bánh mứt.” Khẳng định nào sau đây về nhà toán học D là đúng?

Nếu $n$ nhận mọi giá trị nguyên dương, biểu thức $$\left\lfloor\frac n4\right\rfloor-\left\lfloor\frac n7\right\rfloor-\left\lfloor\frac n{14}\right\rfloor-\left\lfloor\frac n{28}\right\rfloor$$ có thể nhận bao nhiêu giá trị phân biệt?

Cho số nguyên dương $n$. Nếu bội chung nhỏ nhất của $n$ và $12$ là $60$, còn ước chung lớn nhất của $n$ và $36$ là $4$, thì $n$ bằng bao nhiêu?

Sắp xếp các chữ số $1,2,3,4,5,6$ thành hai số nguyên dương, mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần. Có bao nhiêu cách nếu tổng hai số bằng $570$?

Xét tích hai hỗn số $$m\frac67\times n\frac13=23,$$ trong đó $m,n$ là các số nguyên dương. Tính $m+n$.

Bốn chữ số cuối của tổng $$222+2022+20022+\cdots+2\underbrace{0000000000}_{10}22$$ là gì? Ở hạng cuối có mười chữ số 0 giữa chữ số 2 đầu và hai chữ số 22 cuối. Ghi đáp án dưới dạng số có 4 chữ số.

Nếu $a,b$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $$x^2+10x+20=0,$$ tính $a^4+b^4$.

Hình dưới biểu diễn một ngôi sao được cắt từ hình vuông có cạnh dài $30$. Diện tích miền bên trong ngôi sao là bao nhiêu?

Với $x$ thực, phương trình $$(3x+2)^{x+5}=1$$ có bao nhiêu nghiệm?

Trong hình dưới, mỗi chữ cái khác nhau biểu diễn một chữ số khác nhau duy nhất sao cho phép tính đúng. Nếu $W$ biểu diễn $5$, TROOP biểu diễn số nào?
$$\begin{array}{rrrrrr}&T&R&O&O&P\\+&T&O&O&T&S\\\hline N&E&W&S&O&N\end{array}$$

Trong hình dưới, một hình vuông trắng và bốn hình vuông xám bằng nhau được vẽ trong một đường tròn sao cho cả hai đường nét đứt đều là đường kính. Nếu đường kính dài $60$, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các hình vuông.

Trong hình dưới, $ABC$ là tam giác và $D$ thuộc $AB$ sao cho $|AD|:|DB|=3:4$. Các điểm $E,G$ lần lượt thuộc $AC,BC$ sao cho $DBGE$ là hình bình hành; $F$ là giao điểm $DC$ và $GE$. Nếu tỉ số diện tích $\triangle EDF$ và $\triangle ABC$ là $m:n$, trong đó ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$, tính $m+n$.

Trứng trong một siêu thị chỉ được bán theo khay chứa đúng 10, 12 hoặc 30 quả mỗi khay. Vì vậy không thể mua đúng 14 quả hoặc một số lẻ quả trứng. Tuy nhiên có thể mua đúng 78 quả bằng bốn khay 12 quả và một khay 30 quả. Số chẵn lớn nhất không thể mua được ở siêu thị này là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên $n$ trong $\{1,2,\ldots,2022\}$ có ít nhất một chữ số bằng “2”?

Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho mọi tập con gồm đúng $k$ số nguyên của $\{1,2,\ldots,99\}$ đều chứa hai số phân biệt $x,y$ thỏa $|x-y|\le2$.

Trong hình dưới, $ACD$ là tam giác có $|AB|=|BC|$, $\angle ABD=45^\circ$, $\angle BDC=15^\circ$. Nếu $\angle ADB=x^\circ$, tính $x$.

Diện tích tam giác có các cạnh $\sqrt{6^2+7^2}$, $\sqrt{12^2+7^2}$ và $\sqrt{6^2+14^2}$ là bao nhiêu?