SMO 2017 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Tìm mọi giá trị $k$ để biểu thức $x^2+k(k-x)+3k$ dương với mọi $x$.

$0\lt k\lt 4$
$-4\lt k\lt 0$
$k\lt 0,\ k>4$
$k>0,\ k\lt -4$
Không có đáp án nào ở trên

Câu hỏi 2

Rút gọn $$\log_3 12+\log_9 16-\log_{27}8.$$

$\log_3 4$
$\log_3 8$
$\log_3 16$
$\log_3 24$
$\log_3 32$

Câu hỏi 3

Giải phương trình theo $x$: $$7^{x-1}+\frac17-\frac6{7^x}=0.$$

$\log_6 7$
$\log_6 14$
$\log_7 6$
$\log_7 12$
$\log_7 14$

Câu hỏi 4

Một đa thức khi chia cho $(x-2)$ và $x^2-3x+2$ lần lượt có số dư 11 và $Ax+5$, trong đó $A$ nguyên. Tìm số dư khi chia đa thức cho $(x-1)$.

$7$
$8$
$9$
$10$
$11$

Câu hỏi 5

Rút gọn $$\frac{(\sqrt5)^3-(\sqrt2)^3}{\sqrt5-\sqrt2}-\frac{(\sqrt5)^3+(\sqrt2)^3}{\sqrt5+\sqrt2}.$$

$\sqrt{10}$
$2\sqrt{10}$
$3\sqrt{10}$
$\sqrt5-\sqrt2$
$\sqrt5+\sqrt2$

Câu hỏi 6

Số nào sau đây lớn nhất?

$3^{100}$
$90^{10}$
$82^{25}$
$8^{49}+7^{49}$
$2^{150}$

Câu hỏi 7

Giả sử $270^\circ\lt \alpha\lt 360^\circ$. Biểu thức nào sau đây bằng $$\sqrt{\cos^3\alpha}-\sqrt{\sin^2\alpha\cos\alpha}\ ?$$

$(\sin\alpha+\cos\alpha)\sqrt{\cos\alpha}$
$(\sin\alpha-\cos\alpha)\sqrt{\cos\alpha}$
$(\cos\alpha-\sin\alpha)\sqrt{\cos\alpha}$
$(-\sin\alpha-\cos\alpha)\sqrt{\cos\alpha}$
$\sqrt{\cos\alpha}$

Câu hỏi 8

Tìm miền giá trị x thỏa mãn đồng thời $$(x+3)^2\le(3x-1)^2,\qquad3x\ge x^2.$$

$0\le x\le1$
$1\le x\le2$
$2\le x\le3$
$3\le x\le4$
Không có đáp án nào ở trên

Câu hỏi 9

Cho $f(x)=-x+6\sqrt{x+16}-5$ với $-16\le x\le0$. Tìm miền giá trị của $f(x)$.

$-29\le f(x)\le20$
$-29\le f(x)\le19$
$11\le f(x)\le19$
$19\le f(x)\le20$
$11\le f(x)\le20$

Câu hỏi 10

Đường tròn có phương trình $x^2-4x+y^2+8y=5$. Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-2,-1)$.

$3y-4x-5=0$
$-7y+x-5=0$
$3y+2x+7=0$
$3y-2x-1=0$
$4y-3x-2=0$

Câu hỏi 11

Giả sử $x^2+3x+15$ là một nhân tử của $2x^4+mx^2+30n$, trong đó $m,n$ nguyên. Tính $mn$.

Câu hỏi 12

Có bao nhiêu số thực x khác nhau trong $0^\circ\le x\le360^\circ$ thỏa mãn $$3\sin x-4\sin^3x=\frac12\ ?$$

Câu hỏi 13

Giả sử $\frac{1-\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A-1\ne0$. Tính $\tan^2A$.

Câu hỏi 14

Biết $\sin(\frac\pi4-x)=\frac35$, $0\lt x\lt \frac\pi4$. Tính $\frac{15\cos2x}{\cos(\frac\pi4+x)}$.

Câu hỏi 15

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(1+2x+3x^2+4x^3)^8$.

Câu hỏi 16

Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{1+x-99x^2}{x(x^2+1)}$ với $\frac1{100}\le x\le\frac1{10}$.

Bốn điểm $O,P,Q,R$ lần lượt có tọa độ $(0,0)$, $(0,30)$, $(x,y)$, $(20,0)$, trong đó $Q$ nằm trên đường cong $y=50-x^2$ ở góc phần tư thứ nhất. Gọi $\Pi$ là đa giác $OPQR$ với bốn cạnh $OP,PQ,QR,RO$. Diện tích lớn nhất của $\Pi$ bằng bao nhiêu nếu diện tích phải là số nguyên?