SMO 2011 - Open - Vòng 2

Trong tam giác nhọn không cân $ABC$, gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $H$ là trực tâm, và giả sử $AB\gt AC$. Cho $Q$ thuộc $AC$ sao cho phần kéo dài của $HQ$ gặp phần kéo dài của $BC$ tại $P$. Giả sử $BD=DP$, trong đó $D$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Chứng minh $\angle ODQ=90^\circ$.

Nếu có $46$ ô được tô đỏ trên bàn cờ $9\times9$, chứng minh tồn tại một khối $2\times2$ gồm ít nhất ba ô đỏ.

Cho $x,y,z\gt 0$ thỏa mãn
$$\frac1x+\frac1y+\frac1z\lt \frac1{xyz}.$$
Chứng minh
$$\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{2y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{2z}{\sqrt{1+z^2}}\lt 3.$$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực sao cho với mọi số thực $a$,
$$P(a)\in\mathbb Z\quad\Longrightarrow\quad a\in\mathbb Z.$$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho
$$m+n-\frac{3mn}{m+n}=\frac{2011}{3}.$$