APMOPS 2010

Tính giá trị của $(1-\frac12)(1-\frac13)(1-\frac14)\cdots(1-\frac1{98})(1-\frac1{99})(1-\frac1{100})$.

Tính $\frac12+\frac1{2\times2}+\frac1{2\times2\times2}+\cdots+\frac1{\underbrace{2\times\cdots\times2}_{10}}$, trong đó mẫu số của số hạng cuối có 10 thừa số bằng 2.

Tìm tổng số cách xếp 3 quả bóng trắng giống nhau và 3 quả bóng đen giống nhau thành một vòng tròn trên mặt phẳng. Hai cách xếp minh họa dưới đây được coi là cùng một cách.

Biết rằng có đúng một trong các phát biểu sau là đúng. Đó là phát biểu nào?

Cho $n$ là số nguyên không âm lớn hơn 1. Khi chia $n$ cho bất kỳ số nguyên một chữ số nào lớn hơn 1, số dư đều bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

$M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $AD$ và $BC$. Biết diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $2000\text{ cm}^2$ và diện tích miền tô đậm $ANCM$ bằng $x\text{ cm}^2$. Tìm $x$.

Ghi chú nguồn: hình gốc bị thiếu toàn bộ nhãn điểm. Lời giải cung cấp một cách gán nhãn phù hợp và giải thích.

Tiền tiêu vặt của bạn trước đó đã bị giảm ________ %. Để trở lại số tiền trước khi giảm, số tiền hiện tại cần tăng thêm 25%.

Một đường tròn đường kính 2 cm lăn không trượt dọc theo phía ngoài đường tròn đường kính 12 cm, như hình, cho đến khi trở về vị trí ban đầu. Biết đường tròn nhỏ quay quanh tâm nó một góc $x^\circ$. Tìm $x$.

Tìm chữ số tận cùng của tích gồm 859435 thừa số bằng 2, tức là $2^{859435}$.

Ba tuyến xe buýt xuất phát từ cùng một bến. Tuyến thứ nhất khởi hành cách nhau 24 phút, tuyến thứ hai 30 phút và tuyến thứ ba 36 phút. Cả ba cùng khởi hành lúc 09:00. Hỏi sau bao nhiêu phút chúng lại cùng khởi hành?

Hai mươi lăm bạn nam đứng thành đội hình 5 hàng và 5 cột; khoảng cách giữa hai bạn liền kề cùng hàng hoặc cùng cột bằng 1 m. Hai chấm đen biểu thị một cặp bạn cách nhau đúng 5 m. Có $n$ cặp bạn cách nhau đúng 5 m. Tìm $n$.

Albert bắt đầu đi từ $A$, lên dốc $AB$ dài 1 km, qua đoạn bằng phẳng $BC$ dài 12 km, rồi xuống dốc $CD$ dài 3 km. Cùng lúc, Daniel xuất phát từ $D$ theo chiều ngược lại. Vận tốc của mỗi người khi lên dốc, đi trên đường bằng và xuống dốc lần lượt là 2 km/h, 4 km/h và 5 km/h. Hỏi sau bao nhiêu giờ họ gặp nhau?

Tính $1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+20^3+21^3$.

Ba đường tròn bằng nhau có nhiều nhất ba điểm tiếp xúc như hình. Tìm số đường tròn bằng nhau ít nhất cần có để tạo ra chín điểm tiếp xúc.

Một con dê trên mặt đất nằm ngang được buộc vào một đầu sợi dây dài 14 m. Đầu kia gắn với một chiếc vòng có thể trượt tự do dọc theo một thanh ray cố định nằm ngang dài 20 m. Diện tích lớn nhất mà dê có thể ăn cỏ là $x\text{ m}^2$. Tìm $x$. [Bỏ qua kích thước của vòng và lấy $\pi=22/7$.]

Điền các số nguyên không âm vào 13 ô vuông. Biết tổng của ba số liền nhau bất kỳ bằng 21. Tìm $x$. Ô thứ năm chứa 4, ô thứ chín chứa 9 và ô thứ mười ba chứa $x$.

Một hình vuông được chia thành ba hình chữ nhật có chiều rộng $w_1,w_2,w_3$ như hình. Biết $w_1+w_3=w_2$ và diện tích các miền tô đậm $A,B,C$ lần lượt là $8\text{ cm}^2,x\text{ cm}^2,2\text{ cm}^2$. Tìm $x$.

Cho $S=\dfrac1{\frac1{2001}+\frac1{2002}+\cdots+\frac1{2009}+\frac1{2010}}$. Tìm số nguyên không âm lớn nhất nhỏ hơn $S$.

Hình gồm năm hình vuông bằng nhau. $A,B,C,D$ là các đỉnh của các hình vuông. $AB$ cắt $CD$ tại $O$ và $\angle AOC=x^\circ$. Tìm $x$.

Tìm số nguyên không âm nhỏ nhất không phải là ước của $1\times2\times3\times\cdots\times21\times22\times23$. Theo cách dùng trong câu hỏi, xét các số nguyên dương làm ước.