APMOPS 2009

Biết tích của hai số nguyên không âm $m\times n$ là một số nguyên tố và $m<n$. Tìm $m$.

Biết $(2009n-2009)\div(2008\times2009-2006\times2007)=0$. Tìm $n$.

Tìm số còn thiếu $x$ trong dãy $2,9,-18,-11,x,29,-58,-51,\ldots$.

Jane có 9 hộp và 9 chìa khóa tương ứng. Mỗi hộp chỉ mở được bằng đúng chìa khóa của nó. Nếu 9 chìa khóa bị trộn lẫn, nhiều nhất Jane phải thử bao nhiêu lần để mở tất cả các hộp?

Hình vẽ cho tam giác $ABC$ có $AC=18$ cm, $BC=24$ cm. Điểm $D$ nằm trên $BC$ và $AD\perp BC$; điểm $E$ nằm trên $AC$ và $BE\perp AC$. Biết $BE=20$ cm, $AD=x$ cm. Tìm $x$.

Một trường ngoại ngữ có 100 học sinh. Có 69% học tiếng Pháp, 79% học tiếng Đức, 89% học tiếng Nhật và 99% học tiếng Anh. Biết ít nhất $x\%$ số học sinh học cả bốn ngôn ngữ. Tìm $x$.

Tìm $x$ trong bảng $$\begin{matrix}89&35&9&1\\35&x&7&1\\9&7&5&1\\1&1&1&3\end{matrix}.$$

Biết $9=n_1+n_2+\cdots+n_9$, trong đó $n_1,n_2,\ldots,n_9$ là các số liên tiếp. Tìm tích $n_1n_2\cdots n_9$.

Hình vẽ cho lục giác đều $ABCDEF$. Các điểm $G,H,I,J,K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DE,EF,FA$. Biết $[ABCDEF]=100$ cm$^2$ và $[GHIJKL]=x$ cm$^2$. Tìm $x$.

Ba học sinh $A,B,C$ ghi chiều cao một em bé, chu vi một đường tròn, thể tích một chiếc cốc và khối lượng một quả bóng. Các câu trả lời (theo thứ tự đơn vị cm, cm, cm$^3$, g) là: $A:(90,22,250,510)$; $B:(70,21,245,510)$; $C:(80,22,250,520)$. Mỗi học sinh trả lời đúng đúng hai mục. Chiều cao em bé là $x$ cm. Tìm $x$.

Hình vẽ là một lưới vuông gồm 25 điểm. Đặt một đường tròn trên lưới. Đường tròn có thể đi qua nhiều nhất bao nhiêu điểm?

Jane và Peter chạy đua 100 m. Khi Peter về đích thì Jane vừa qua mốc 90 m. Nếu Peter xuất phát cách vạch xuất phát 10 m về phía sau, khoảng cách giữa hai người khi một người về đích là $x$ m. Tìm $x$.

Biết $(1+2+3+4+5+4+3+2+1)\times123454321=x^2$. Tìm $x$.

Một khối lập phương $5\times5\times5$ được ghép từ các khối lập phương $1\times1\times1$ và các khối hộp $1\times1\times2$. Có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu khối hộp $1\times1\times2$?

Biết $n_1^2+(2n_2)^2+(3n_3)^2+\cdots+(9n_9)^2=285$. Tìm $n_1+\cdots+n_9$, với mọi $n_i$ là số nguyên dương khác $0$.

Một hình tròn và một hình vuông có cùng chu vi. Phát biểu nào đúng?

Trong hình, $L$ và $M$ lần lượt nằm trên $PQ$ và $QR$. Điểm $O$ là giao điểm của $LR$ và $PM$. Biết $MP=MQ$, $LQ=LR$, $PL=PO$ và $\angle POR=x^\circ$. Tìm $x$.

Biết $\frac{28}{29}<\frac1a+\frac1b+\frac1c<1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b+c$, với $a,b,c$ là các số nguyên không âm (các mẫu số phải khác $0$).

Jane có chín que dài 1 cm, sáu que dài 2 cm và ba que dài 4 cm. Jane phải dùng tất cả các que để tạo thành một hình chữ nhật. Có thể tạo được bao nhiêu hình chữ nhật có kích thước khác nhau?

Peter muốn cắt một sợi dây dài 63 cm thành các đoạn sao cho có thể chọn một hoặc nhiều đoạn ghép lại thành mỗi độ dài nguyên từ 1 cm đến 63 cm. Tìm số lần cắt ít nhất.