APMOPS 2011

Nếu gấp hình dưới đây thành hình lập phương thì số nào nằm đối diện mặt ghi $P$?

Tính $(1-\frac12)(1-\frac13)(1-\frac14)\cdots(1-\frac1{2010})(1-\frac1{2011})$.

Trên đường tròn bán kính 1 m có một số điểm. Tìm số điểm ít nhất để chắc chắn có hai điểm cách nhau dưới 1 m.

Ba cạnh của một tứ giác có độ dài lần lượt là 4 cm, 9 cm và 14 cm. Độ dài nguyên lớn nhất có thể của cạnh thứ tư là $x$ cm. Tìm $x$.

Tìm số nguyên tố lớn nhất chia hết $(1\times2\times3\times\cdots\times97\times98)+(1\times2\times3\times\cdots\times98\times99\times100)$.

$ABCD$ là hình vuông và $BCE$ là tam giác đều. Biết $BC=8$ cm, tìm bán kính đường tròn đi qua $A,E,D$, tính bằng cm.

Tính $\frac{19}{20}+\frac{1919}{2020}+\frac{191919}{202020}+\cdots+\frac{\underbrace{1919\cdots19}_{2011}}{\underbrace{2020\cdots20}_{2011}}$. Trong số hạng cuối, tử số gồm 2011 nhóm 19 và mẫu số gồm 2011 nhóm 20.

Hình dưới biểu diễn đường tròn tâm $R$, bán kính 8 cm. Hai đường tròn nhỏ tâm $P,Q$ tiếp xúc trong với đường tròn tâm $R$ và tiếp xúc ngoài với nhau như hình. Tìm chu vi tam giác $PQR$, tính bằng cm.

Peter và Jane thi chạy 5000 m. Vận tốc chạy của Peter gấp 4 lần Jane. Jane chạy liên tục từ đầu đến cuối, còn Peter thỉnh thoảng dừng lại. Khi Jane cán đích, Peter còn cách đích 100 m. Trong những lúc Peter dừng, Jane đã chạy tổng cộng $x$ m. Tìm $x$.

Các số được xếp thành ba hàng $A,B,C$ như sau. Số 1000 sẽ nằm ở hàng nào?

$A$: 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, ...

$B$: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...

$C$: 3, 4, 9, 10, 15, 16, 21, ...

Hình dưới gồm 5 hình tròn bằng nhau. Có bao nhiêu đường cắt thẳng khác nhau chia tổng phần tô đậm của năm hình tròn thành hai phần có diện tích bằng nhau?

Một lớp làm bài kiểm tra có điểm tối đa là 10. Một số kết quả được cho dưới đây. Điểm trung bình của các bạn đạt trên 3 điểm là 7; điểm trung bình của các bạn đạt dưới 8 điểm là 5. Không bạn nào bị 0 điểm. Tìm sĩ số lớp.

Các mức điểm 1, 2, 3, ..., 8, 9, 10 có số học sinh tương ứng 1, 3, 6, ..., 4, 6, 3.

Một bài kiểm tra gồm 10 câu đúng hoặc sai. Cần ít nhất bao nhiêu bài làm để chắc chắn có hai bài trả lời giống nhau ở cả 10 câu?

$P_n$ là tích các chữ số của số nguyên không âm $n$. Ví dụ $P_{19}=1\times9=9$, $P_{32}=3\times2=6$. Tính $P_{10}+P_{11}+\cdots+P_{98}+P_{99}$.

Tam giác $ABC$ có $BC=8$ cm. $D,E$ nằm trên $AB$ sao cho khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa $D,E$ bằng 4 cm. Tìm diện tích miền tô đậm $CDE$, tính bằng $\text{cm}^2$.

Các điểm $A,B,C,D,E,F$ nằm trên hai đường thẳng như hình. Có thể tạo bao nhiêu tam giác lấy 3 trong 6 điểm làm đỉnh?

Một nhóm 50 bạn nữ được hỏi về số sách mượn ở thư viện trường trong tháng Tư. Tổng số sách là 88; có 18 bạn chỉ mượn một cuốn mỗi người. Mỗi bạn mượn 1, 2 hoặc 3 cuốn. Tìm số bạn mượn 2 cuốn.

Hình dưới biểu diễn tam giác $PQR$ trên lưới chữ nhật 2 hàng và 7 cột. Tìm tổng hai góc $PQR$ và $PRQ$, tính bằng độ.

Hình dưới là một hình chữ nhật; các miền được ghi số có diện tích lần lượt $5\text{ cm}^2$, $6\text{ cm}^2$, $10\text{ cm}^2$, $54\text{ cm}^2$ và $x\text{ cm}^2$. Tìm $x$.

Hình dưới gồm hai hình vuông $ABCD$ và $DGFE$. Cạnh $CD$ nằm trên cạnh $DG$. Diện tích hình vuông $DEFG$ bằng $80\text{ cm}^2$. Tìm diện tích tam giác $BGE$, tính bằng $\text{cm}^2$.