Bebras 2021 - Cấp độ 2

Hải ly Alex có 5 chiếc hòm được mã hóa như hình sau:



Để mở những chiếc hòm này, Alex có 5 chìa khóa có ghi số. Trong đó, các chữ số giống nhau tương ứng với những chữ cái giống nhau và các chữ số khác nhau tương ứng với những chữ cái khác nhau.



Không may, một trong 5 chiếc chìa khóa đã bị mất dãy số tương ứng. Hình phía trên cho biết các dãy số được ghi ở 4 chiếc chìa khóa còn lại. Hỏi dãy số đã bị mất là dãy số nào dưới đây?

Hải ly Alice có 5 hộp quà. Các hộp quà được in hình để phân biệt với nhau. Hình dưới đây chỉ ra trạng thái của cân thăng bằng khi bạn ấy đặt các hộp quà lên cân hai đĩa.



Hỏi hộp quà nào là hộp quà nặng nhất trong số 5 hộp quà đó?

Thư viện của làng hải ly chỉ có một chồng sách. Bất cứ người nào đến mượn sách đều phải ghi tên vào cuốn sổ theo dõi và lấy cuốn sách ở trên cùng của chồng sách. Tương tự, khi đến trả sách, bạn ấy cũng phải ghi tên vào sổ theo dõi và đặt lại cuốn sách lên trên cùng của chồng sách.



Trong hình trên, phần bên phải minh họa cho thứ tự chồng sách trong thư viện vào đầu ngày và phần bên trái cho chúng ta biết các nội dung được ghi lại trong sổ theo dõi. Hỏi hải ly Cato đã mượn cuốn sách nào ở thư viện?

Để ghi nhớ cách di chuyển đến các vị trí theo các con đường gỗ, các bạn hải ly thường ghi lại các lần rẽ (cách lựa chọn hướng đi tại các ngã ba) trong suốt quá trình đi. Với mỗi lần rẽ phải, các bạn ấy sẽ ghi lại là R (right); còn kí tự L (left) được dùng để đánh dấu các lần rẽ trái.

Chẳng hạn với các con đường như hình dưới đây, để đi đến vị trí hình con bướm từ vị trí S, các bạn hải ly có hành trình được ghi lại là: S R L R L.



Một ngày đẹp trời, hải ly đã xuất phát từ nhà của mình để đi ngắm cảnh và dừng lại ở vị trí mà ta có thể nhìn thấy trong hình bên dưới. Hỏi dãy ghi lại hành trình mà hải ly đã đi bao gồm bao nhiêu kí tự R và bao nhiêu kí tự L?

Các bạn hải ly thường sử dụng hình vẽ thay thế cho các chữ số để đánh dấu đồ vật. Bảng dưới đây mô tả quan hệ tương ứng và giá trị của các kí hiệu đó.



Giá trị các ký hiệu theo vị trí trong ảnh nguồn, từ trái sang phải:

| Hàng / Vị trí | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Hàng ký hiệu phía trên | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Hàng ký hiệu phía dưới | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Chẳng hạn, dãy hình có giá trị tương ứng là 56432.

Hải ly Alex đã dùng dãy hình sau để đánh dấu cuốn sách yêu thích của mình.



Hỏi dãy hình nào dưới đây có giá trị bằng với dãy hình đó?

Các bạn hải ly có một nơi được gọi là con đường ánh sáng - khu vực được ghép từ 36 viên gạch đặc biệt: mỗi viên gạch có một bóng đèn; bóng đèn sẽ thay đổi trạng thái mỗi khi các bạn hải ly đi qua vị trí viên gạch đó.

Mỗi lần đi trên con đường ánh sáng, các bạn hải ly sẽ vào tại cổng vào, đi qua các viên gạch và ra tại cổng ra. Từ mỗi viên gạch, các bạn có thể bước sang các viên gạch xung quanh có chung cạnh với vị trí đang đứng. Sau một lần di chuyển, hải ly Alex nhận được kết quả trạng thái của các bóng đèn như hình dưới đây.



Vì thấy hình này không đẹp nên bạn ấy muốn tạo hình lại từ đầu. Trước hết, Alex sẽ phải đổi toàn bộ các bóng đèn về trạng thái được bật sáng (màu trắng).

Hỏi hành trình nào dưới đây có thể giúp Alex làm được điều đó?

Chúng ta chỉ có thể mở được một chiếc khóa số khi xoay các vòng số về đúng vị trí của nó. Mỗi vòng số trong khóa đều có thể xoay theo hai chiều (xoay lên trên hoặc xuống dưới).



Ví dụ trong hình trên, số trên khóa đang là 2719. Nếu ta xoay vòng số cuối cùng bên phải thì chữ số hàng đơn vị sẽ được thay đổi. Nếu xoay vòng số đó lên trên một vị trí thì ta được số 0, còn nếu xoay vòng số xuống dưới một vị trí thì ta được số 8.

Hỏi chúng ta cần xoay các vòng số trên ít nhất bao nhiêu lần để mở được khóa? Biết rằng mật mã đúng để mở chiếc khóa này là 4383.

Kĩ sư hải ly có cách tạo ra những cửa sổ tam giác như sau:

- **Bước 1:** Tạo một khung cửa sổ hình tam giác đều.
- **Bước 2:** Nối trung điểm các cạnh của tam giác để được 4 tam giác mới.
- **Bước 3:** Trong những ô cửa sổ mới, lắp kính xám cho ô cửa sổ ở chính giữa.
- **Bước 4:** Lặp lại bước 2 và 3 cho một ô cửa sổ chưa được lắp kính bất kì.

Biết rằng kĩ sư hải ly có thể thực hiện bước 4 một số lần tùy ý, hỏi bạn ấy có thể tạo ra được bao nhiêu cửa sổ trong số các cửa sổ trong hình minh họa dưới đây?

Để làm sạch nước sinh hoạt cho thành phố của mình, các bạn hải ly đã chế tạo ra một cái máy lọc nước. Để hoàn thành quá trình xử lý, nước phải đi qua 3 bộ lọc N, P và C theo đúng thứ tự đó.



Biết rằng van số 1 đã được mở và các van còn lại đều đang đóng. Hỏi trong các van được đánh số từ 2 đến 6, có bao nhiêu van mà các bạn hải ly có thể mở để chắc chắn lấy được nước ở đầu ra đã được lọc đúng quy trình?

Xứ sở Beaverland có 12 thành phố. Để di chuyển qua lại giữa các thành phố, người ta đã xây dựng các con đường cao tốc được đánh dấu bằng các chữ cái từ A đến O như trong hình minh họa dưới đây.



Người ta quy ước gọi một nhóm các thành phố là một **cộng đồng kinh tế** nếu hai thành phố bất kỳ nào trong nhóm cũng đều được kết nối trực tiếp với nhau bằng một đường cao tốc hoặc gián tiếp qua một hay nhiều thành phố khác trong nhóm. Trong sơ đồ trên, cả 12 thành phố đều đang thuộc vào một cộng đồng kinh tế.

Do sự bùng phát của dịch Covid-19, các thị trưởng đã quyết định chặn hai con đường cao tốc nào đó để chia cắt Xứ sở thành ba cộng đồng kinh tế riêng biệt. Hơn nữa, để giảm thiểu sự gián đoạn kinh tế, cộng đồng nhỏ nhất trong ba cộng đồng kinh tế đó phải chứa nhiều thành phố nhất có thể được. Các thị trưởng đã nhanh chóng tìm ra được cách chặn đường thỏa mãn các yêu cầu đó. Hỏi cộng đồng kinh tế nhỏ nhất trong ba cộng đồng sau khi chia cắt gồm bao nhiêu thành phố?

Để cộng hai chữ cái, các bạn hải ly sẽ cộng số thứ tự của chúng trong bảng chữ cái. Kết quả được trả lại bằng chữ cái tương ứng với giá trị tổng nhận được.



| Chữ cái | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Giá trị | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

| Chữ cái | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Giá trị | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Ví dụ: $A+A=B$; $A+B=C$. Trong trường hợp kết quả trả lại lớn hơn 26 thì các bạn ấy sẽ đếm tiếp từ chữ cái A. Ví dụ: $Z+B=B$; $Y+C=B$.

Hải ly Lenka đã dùng quy tắc này để mã hóa các thông điệp của mình như sau:

- Chọn một số ngẫu nhiên và gọi nó là **khóa**.
- Viết thông điệp của mình trên một dòng, sau đó viết lại thông điệp đó vào dòng tiếp theo nhưng dịch sang bên phải một số vị trí bằng số khóa vừa chọn.
- Thực hiện phép cộng các chữ cái theo từng cột để được kết quả mã hóa.

Ví dụ nếu Lenka mã hóa từ TEA với khóa 1 thì kết quả nhận được sẽ là TYFA.



Hỏi nếu Lenka mã hóa từ **COMPUTER** với khóa 3 thì bạn ấy sẽ nhận được kết quả là gì?

Các bạn hải ly đã nghĩ ra một cách mã hóa các chữ cái I, T, O, C và L dựa trên bảng số $3\times3$ rất thú vị. Đầu tiên, hải ly sẽ vẽ hình biểu diễn các chữ cái đó trên lưới vuông $3\times3$ như sau:



Chép lại các hình chữ bằng bảng: 0 = ô trắng, 1 = ô xám; thứ tự hàng từ trên xuống, cột từ trái sang.

I

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |

T

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |

O

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |

C

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |

L

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |

Sau đó, để mã hóa mỗi chữ cái, các bạn hải ly sẽ lần lượt kiểm tra các ô đơn vị trong hình biểu diễn tương ứng và ghi vào bảng số giá trị số ô đơn vị ở cùng vị trí và có cùng màu trong hình biểu diễn của 4 chữ cái còn lại.

Chẳng hạn, chữ cái I đã được mã hóa bởi bảng số trong hình bên trái dưới đây.



Bảng số bên trái (ví dụ chữ I):

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 3 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 3 |
| 3 | 1 | 4 | 1 |

Bảng số bên phải cần nhận dạng:

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 3 | 3 | 2 |
| 2 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 4 | 2 |

Hỏi bảng số bên phải là kết quả nhận được khi hải ly mã hóa chữ cái nào?

Kangaroo đang muốn về nhà bằng cách nhảy qua các con đường trong hình bên dưới. Bạn ấy chỉ có thể nhảy theo hướng ngang (sang trái, sang phải) hoặc hướng dọc (lên trên, xuống dưới). Hơn nữa, Kangaroo chỉ có thể nhảy qua các chướng ngại vật là các chồng đá mà ở đó có không nhiều hơn hai khối đá.



Ta quy ước gọi khoảng cách giữa hai nút giao cạnh nhau là một đoạn đường. Hỏi Kangaroo cần nhảy qua ít nhất bao nhiêu đoạn đường để có thể trở về nhà ở góc dưới cùng bên phải?

Các bạn hải ly có ba cái máy điêu khắc. Mỗi máy có thể nhận vào một khối có khắc hình cho trước và bổ sung thêm các hình khác theo quy tắc riêng như hình minh họa bên dưới.



Chẳng hạn, hình dưới đây chỉ ra một ví dụ về cách sử dụng máy 3 hai lần để nhận được hình điêu khắc mới.



Hỏi nếu xuất phát với khối hình và ba chiếc máy đó, các bạn hải ly có thể tạo ra được khối hình nào dưới đây?

Hải ly có 9 cây thông thuộc ba loại (), mỗi loại 3 cây. Biết rằng các cây cùng loại có chiều cao như nhau và các cây khác loại có chiều cao khác nhau. Bạn ấy trồng 9 cây thông vào mảnh vườn kích thước $3\times3$ sao cho mỗi loại cây xuất hiện ở mỗi hàng, mỗi cột đúng một lần. Ở mỗi vị trí xung quanh vườn, hải ly sẽ cắm một bảng ghi số cây nhìn thấy được (trong hàng hoặc cột) tại vị trí đó. Lưu ý rằng các cây thấp hơn ở phía sau sẽ bị che khuất bởi các cây cao hơn ở phía trước. Minh họa dưới đây chỉ ra một ví dụ về các số được ghi trên bảng tương ứng với cách trồng cây trong hình đó.



Dữ liệu của hình ví dụ, đọc hàng từ trên xuống và cột từ trái sang:

| Hàng / Cột | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | Thấp | Cao | Vừa |
| 2 | Cao | Vừa | Thấp |
| 3 | Vừa | Thấp | Cao |

Các số trong ví dụ:

| Phía quan sát | Hàng/cột 1 | Hàng/cột 2 | Hàng/cột 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| Trái (theo hàng) | 2 | 1 | 2 |
| Phải (theo hàng) | 2 | 3 | 1 |
| Trên (theo cột) | 2 | 1 | 2 |
| Dưới (theo cột) | 2 | 3 | 1 |

Hình dưới đây cho biết một vài bảng số đã được cắm ở xung quanh vườn. Hỏi tổng tất cả các số xung quanh vườn khi cắm đủ các bảng là bao nhiêu?



Các gợi ý của bài cần giải; dấu — nghĩa là chưa cho số, không phải số 0:

| Phía quan sát | Hàng/cột 1 | Hàng/cột 2 | Hàng/cột 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| Trái (theo hàng) | 3 | — | — |
| Phải (theo hàng) | — | 2 | — |
| Trên (theo cột) | — | — | — |
| Dưới (theo cột) | 1 | — | — |