2014 KIMC keystage3-IWYMIC team

Cho $S_1-S_2+S_3-S_4+S_5=\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, và

$$\begin{aligned}S_1&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_2&=\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times4}+\frac{1}{2\times5}+\frac{1}{2\times6}+\frac{1}{3\times4}\\ &\quad+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{3\times6}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{4\times6}+\frac{1}{5\times6}.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_3&=\frac{1}{2\times3\times4}+\frac{1}{2\times3\times5}+\frac{1}{2\times3\times6}+\frac{1}{2\times4\times5}+\frac{1}{2\times4\times6}\\ &\quad+\frac{1}{2\times5\times6}+\frac{1}{3\times4\times5}+\frac{1}{3\times4\times6}+\frac{1}{3\times5\times6}+\frac{1}{4\times5\times6}.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_4&=\frac{1}{2\times3\times4\times5}+\frac{1}{2\times3\times4\times6}+\frac{1}{2\times3\times5\times6}+\frac{1}{2\times4\times5\times6}+\frac{1}{3\times4\times5\times6}.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_5&=\frac{1}{2\times3\times4\times5\times6}.\end{aligned}$$

Hãy tìm giá trị của $m+n$.

Các số nguyên tố đôi một phân biệt $p,q,r$ và $s$ thỏa mãn $p+q+r+s$ cũng là số nguyên tố, đồng thời cả $p^2+qr$ và $p^2+qs$ đều là bình phương của các số nguyên. Hãy tìm $p+q+r+s$.

Tìm tổng tất cả các số nguyên $n$ sao cho $9n^2+23n-2$ là tích của hai số nguyên dương chẵn hơn kém nhau $2$.

Cắt một tam giác vuông cân thành số mảnh ít nhất sao cho có thể ghép các mảnh, không có khe hở và không chồng lên nhau, thành hai tam giác vuông cân có kích thước khác nhau.

Tìm giá trị lớn nhất của $a+b+c$, trong đó $a,b$ và $c$ là các số nguyên dương sao cho $2b+1$ chia hết cho $a$, $2c+1$ chia hết cho $b$ và $2a+1$ chia hết cho $c$.

Tìm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $100$ có đúng bốn ước dương sao cho hiệu giữa tổng của hai ước và tổng của hai ước còn lại là bình phương của một số nguyên.

Một nhà hàng Hàn Quốc phục vụ một loại súp mỗi ngày. Đó là súp cá, súp bò hoặc súp gà nhân sâm, nhưng nhà hàng không phục vụ súp gà nhân sâm trong ba ngày liên tiếp. Hãy tìm số thực đơn bảy ngày khác nhau.

Hai đường tròn có tâm lần lượt là $O$ và $P$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Phần kéo dài của $OB$ cắt đường tròn thứ hai tại $C$, còn phần kéo dài của $PB$ cắt đường tròn thứ nhất tại $D$. Đường thẳng qua $B$ song song với $CD$ cắt đường tròn thứ nhất tại $Q\ne B$. Chứng minh rằng $AD=BQ$.

Trong tứ giác $ABCD$, $\angle BDA=10^\circ$, $\angle ABD=\angle DBC=20^\circ$ và $\angle BCA=40^\circ$. Hãy tìm số đo theo độ của $\angle BDC$.

Hình dưới đây cho thấy một hộp $6\times6$. Các viên bi từ A đến L đi vào theo cột và đi ra theo hàng. Điểm vào và điểm ra của mỗi viên bi được đánh dấu bằng chính chữ cái của viên bi đó. Có thể đặt gương phản xạ theo một trong hai đường chéo của bất kỳ ô vuông nào trong hộp; bốn gương được vẽ để minh họa. Khi một viên bi gặp gương, nó bật sang hướng vuông góc. Bạn phải làm cho mỗi viên bi đi đúng đến nơi quy định, như minh họa với các viên bi B và K. Bạn phải bỏ bốn gương trong hình minh họa rồi đặt mười gương vào các ô khác. Không được đặt gương vào cùng vị trí như trong hình minh họa.