2014 KIMC keystage2-EMIC team

Cần chèn đúng một cặp dấu ngoặc vào biểu thức
$$2\times2-2\times2-2\times2-2\times2-2\times2.$$
Dấu ngoặc mở phải đứng trước một số 2 và dấu ngoặc đóng phải đứng sau một số 2. Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của biểu thức thu được.

Chia 18 số $1,2,\ldots,18$ thành chín cặp sao cho tổng hai số trong mỗi cặp là bình phương của một số nguyên.

Hình dưới đây cho thấy một tam giác vuông cân được chia thành bốn tam giác vuông cân tô đậm và một số hình vuông. Độ dài cạnh của tất cả các hình vuông đều là số nguyên dương. Mười hình vuông nhỏ nhất có cạnh dài 1 cm. Hãy tìm tổng diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của bốn tam giác tô đậm.

Mỗi gia đình trong năm gia đình sống ở các căn hộ số 2, 3, 4, 6 và 12 của một tòa nhà sẽ nhận nuôi một trong năm con mèo có tuổi là 1, 2, 3, 4 và 6. Số căn hộ của gia đình nhận nuôi phải chia hết cho tuổi của con mèo. Hãy tìm tất cả các phương án nhận nuôi có thể.

Mẫu trả lời của đề gốc có các cột lần lượt dành cho mèo 1, 2, 3, 4 và 6 tuổi.

Ghép liên tiếp các số nguyên dương $1,2,\ldots,2014$ tạo thành số có rất nhiều chữ số $12345678910111213\ldots201220132014$. Xóa tất cả các chữ số đứng trước và tất cả các chữ số đứng sau một đoạn để được một số có bảy chữ số chia hết cho 11. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số có bảy chữ số này; nó không được bắt đầu bằng chữ số 0.

Hình dưới đây biểu diễn một cấu hình lục giác gồm 19 điểm trên một lưới tam giác đều.

**(a)** Hãy xác định số kích cỡ khác nhau của các tam giác đều có cả ba đỉnh nằm trong 19 điểm. Vẽ lên hình một tam giác đều thuộc mỗi kích cỡ.

**(b)** Hãy xác định số tam giác đều thuộc mỗi kích cỡ.

Mỗi đội trong các đội $A,B,C,D$ và $E$ đấu với từng đội còn lại đúng một lần. Một trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Khi giải kết thúc, không có hai đội nào có cùng số điểm. $A$ có số điểm cao nhất dù thua $B$. Cả $B$ lẫn $C$ đều không thua trận nào, nhưng $C$ có ít điểm hơn $D$. Đội $E$ có bao nhiêu điểm?

$P$ là một điểm nằm bên trong hình vuông $ABCD$ có cạnh dài 8 cm. Giá trị lớn nhất có thể của diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác nhỏ nhất trong sáu tam giác $PAB,PBC,PCD,PDA,PAC$ và $PBD$ là bao nhiêu?

Một dãy gồm 2014 số có hai chữ số, trong đó mỗi số là bội của 19 hoặc 23, và chữ số hàng chục của mỗi số kể từ số thứ hai bằng chữ số hàng đơn vị của số đứng ngay trước nó. Nếu số cuối cùng trong dãy là 23, hãy xác định số đầu tiên của dãy.

Có mười đồng xu thật có cùng khối lượng. Có một đồng xu giả nặng hơn đồng xu thật, và một đồng xu giả khác nhẹ hơn đồng xu thật. Không thể phân biệt các đồng xu với nhau. Hãy giải thích cách dùng một chiếc cân đĩa, trong bốn lần cân, để xác định tổng khối lượng hai đồng xu giả lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn tổng khối lượng hai đồng xu thật.