2005 xIMC keystage2-EMIC individual

Dãy $4,7,10,13,16,\ldots$ được viết theo thứ tự, mỗi trang $100$ số, bắt đầu ở trang $526$. Số $2005$ ở trang nào?

$a,b,c,d,e,f,g$ là bảy số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng. Tổng bảy số là số lập phương, còn $c+d+e$ là số chính phương. Tìm $d$ nhỏ nhất.

Mỗi bóng lớn nặng gấp $1\frac13$ bóng nhỏ. Cân gốc có chín bóng nhỏ bên trái, hai bóng lớn bên phải. Chỉ được thêm bóng nhỏ hoặc lớn vào bên phải, không bỏ bóng nào. Cần thêm ít nhất bao nhiêu bóng?

Các kí hiệu tam giác khác nhau biểu diễn các chữ số khác nhau từ $1$ đến $9$, nhất quán trong hai phép nhân. Tìm số hai chữ số kí hiệu “??”. Hai tích in trong nguồn là $32832$, $33156$; thừa số ba chữ số của phép thứ hai đảo hai kí hiệu cuối của phép thứ nhất.

Số sách toán bán được thỏa mãn: thứ Hai+Ba+Tư=$115$; thứ Tư+Năm=$85$; thứ Ba+Năm=$90$; thứ Hai+Sáu=$70$; thứ Năm+Sáu=$80$. Tìm số sách bán thứ Ba.

Hai số nguyên dương $a,b$ có $a+b=333$. Có bao nhiêu phân số $a/b$ nhỏ hơn $1$ và tối giản? Tối giản nghĩa là tử, mẫu không có ước chung lớn hơn $1$.

Bốn bạn xuống cầu thang bụi, lần lượt bước mỗi lần $2,3,4,5$ bậc. Chỉ đỉnh và chân cầu thang có dấu của cả bốn. Bao nhiêu bậc có dấu chân của đúng một bạn?

Hai đường tròn tiếp xúc, mỗi đường bán kính $2$ cm. Kiến lặp lại đường hình số tám theo thứ tự $ABCDEFCGA$. Sau khi đi $2005\pi$ cm, kiến dừng ở điểm mang chữ nào?

Một giỏ và $16$ củ khoai nằm thẳng hàng, cách nhau từng khoảng $6$ m, giỏ ở một đầu. Jose bắt đầu tại giỏ, mang từng củ một về giỏ, chạy $3$ m/s. Tìm thời gian ngắn nhất.

Ghép các số nguyên dương thành $123456789101112\ldots$. Tìm chữ số thứ $2005$.

Xe đạp đi từ X đến Y, ô tô từ Y đến X, cùng xuất phát với vận tốc không đổi. Sau khi gặp, xe đạp cần thời gian gấp $25$ lần ô tô để đến đích. Tìm tỉ số vận tốc xe đạp : ô tô.

Mười số nguyên không âm có thể trùng nhau. Lấy tổng chín số bằng cách bỏ lần lượt một số thì được $82,83,84,85,87,89,90,91,92$ và một giá trị lặp trong danh sách này. Tìm tổng cả mười số.

Các hình vuông ghép từ ô vuông đơn vị có cạnh $1,2,3,\ldots$. Hình thứ $2005$ có nhiều hơn hình thứ $2004$ bao nhiêu ô?

Obet ban đầu không có tiền. Michael cho Obet $1/5$ tiền của mình, Lucky cho $1/4$, Nelson cho $1/3$. Ba khoản cho bằng nhau. Cuối cùng Obet có bao nhiêu phần tổng tiền của cả nhóm?

Điền $1$ đến $9$, mỗi hình tròn một số, vào hình gốc. Mỗi cạnh chứa hai hình tròn ngoài và tổng bốn cạnh bằng nhau. Có bao nhiêu chữ số khác nhau có thể nằm ở hình tròn giữa?