IMC 2009 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Bộ bài một đến mười lăm. Lặp lấy lá trên đặt lên chồng trên bàn, rồi chuyển lá kế trên xuống đáy bộ còn lại, tới khi hết. Chồng bàn đọc từ trên xuống một đến mười lăm. Lá thứ tư từ đáy bộ ban đầu là gì?

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có mười ước tận cùng bằng đủ mười chữ số khác nhau. Nó có thể có hơn mười ước.

Hoàn tất bảng $6\times6$ đã cho để mỗi chữ số một đến sáu xuất hiện trong mỗi hàng, cột và cả hai đường chéo chính.

Bản đồ thị trấn có ba bãi đỗ P, bảy quảng trường tô. Mũi tên một chiều áp dụng tới đường nhánh đầu. Tìm đường từ một bãi đỗ, qua đủ bảy quảng trường rồi tới bãi đỗ khác, không qua điểm nào hai lần, kể cả giao lộ.

Vẽ đường kín gồm đoạn ngang và đứng, qua mỗi ô bàn đúng một lần, không tự cắt. Giữa hai vòng liên tiếp cùng màu, dùng một đoạn thẳng; khác màu, đúng hai đoạn thẳng gặp nhau vuông góc.

Với $n$ nguyên dương, đặt $a_n=\frac{2^n}{2^{2n+1}-2^{n+1}-2^n+1}$. Chứng minh $a_1+\cdots+a_{2009}\lt 1$.

Tìm mọi cách chia số nguyên dương thành nóng và lạnh sao cho nóng cộng lạnh là nóng, tích của chúng là lạnh.

Bát giác đều cạnh một cm được cắt như hình thành một vuông và bốn ngũ giác bằng nhau, rồi ghép thành vuông. Tính chu vi một ngũ giác theo cm.

Mỗi ván bài có bốn người. Số ván bằng số người dự thi; mọi cặp cùng chơi ít nhất một ván. Số người nhiều nhất là bao nhiêu?

Số nào trong $2008,2009,2010$ viết được $x^3+y^3+z^3-3xyz$ với $x,y,z$ nguyên dương?