Ngân hàng câu hỏi APMOPS 2013

Tìm 5 chữ số cuối của tổng

$$127354+27354+7354+354+54+4.$$

Tìm tổng tất cả các số có hai chữ số mà cả chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục đều chẵn.

Hình vẽ cho thấy nửa hình tròn tâm $O$ chồng lên hình bình hành $ABCD$. Đường kính $AB$ của nửa hình tròn dài $12$ cm. Tìm tổng diện tích các phần tô đậm, tính bằng $\mathrm{cm}^2$.

Abel, Ben và Charlie tham dự SMOPS 2012, gồm 30 câu hỏi. Ba bạn trả lời đúng lần lượt 26, 23 và 18 câu. Số câu ít nhất có thể được cả 3 bạn cùng trả lời đúng là bao nhiêu?

Tính giá trị của $555\times554555-554\times555554$.

Hình vẽ cho thấy một khối lập phương cạnh $5$ cm. Người ta tạo một đường hầm có tiết diện hình chữ nhật $2$ cm nhân $3$ cm xuyên qua phần giữa khối lập phương. Tìm phần diện tích toàn phần tăng thêm của khối còn lại, tính bằng $\mathrm{cm}^2$.

Trung bình cộng của bốn số nguyên không âm $\overline{a}$, $\overline{b5}$, $\overline{c17}$ và $\overline{d432}$ là $1735$, trong đó $a,b,c,d$ là chữ số đầu tiên của từng số. Tìm $a+b+c+d$.

Hình vẽ cho thấy một khối bát diện đều, là khối có tám mặt tam giác đều.

Trong các hình triển khai dưới đây, hình nào có thể gấp thành một khối bát diện đều?

Tổng của hai số nguyên tố bằng $2013$. Tìm tích của hai số đó.

Hình vẽ cho thấy một hình vuông lớn được chia thành bốn hình chữ nhật giống nhau và một hình vuông nhỏ. Biết diện tích hình vuông nhỏ là $16\ \mathrm{cm}^2$, diện tích mỗi hình chữ nhật là $140\ \mathrm{cm}^2$. Tìm chiều rộng mỗi hình chữ nhật, tính bằng cm.

Một số có 5 chữ số dạng $\overline{24abc}$ có ba chữ số cuối chưa biết. Nếu số này chia hết cho cả $3,4,5$, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $\overline{abc}$.

Trong hình vẽ, một con kiến đi từ $A$ đến $B$. Nếu kiến chỉ được đi sang phải hoặc lên trên theo các đường của lưới, có bao nhiêu đường đi khác nhau từ $A$ đến $B$?

Hình vẽ cho thấy hình bình hành $ABCD$. $E$ là trung điểm của $AD$, $F$ là trung điểm của $EC$. Biết diện tích tam giác $BFD$ bằng $9\ \mathrm{cm}^2$, hãy tìm diện tích hình bình hành $ABCD$, tính bằng $\mathrm{cm}^2$.

Nếu viết $\dfrac{2013}{1990}$ dưới dạng

$$a+\frac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d+\frac{1}{e}}}},$$

trong đó $a,b,c,d,e$ là các số nguyên dương, thì $a+b+c+d+e$ bằng bao nhiêu?

Trong hình đã cho, tìm giá trị (tính bằng độ) của

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F.$$

Có bao nhiêu cách chia $8$ chiếc kẹo sô-cô-la giống nhau cho bốn em nhỏ, sao cho mỗi em nhận ít nhất một chiếc?

Trong hình vẽ, mỗi hình tròn chứa một số tự nhiên và thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Số ghi trên mỗi cạnh biểu thị hiệu không âm của hai số trong hai hình tròn được cạnh đó nối lại.
2. Tổng các số trong $5$ hình tròn bằng $1979$.

Tìm số trong hình tròn $A$.

Một loại bình nước được bán với giá 10 đô la tại cả cửa hàng A và cửa hàng B. Bà Lim muốn mua một số bình cho một mái ấm trẻ em. Cửa hàng A có chương trình “Mua 5 tặng 1” (mua dưới 5 bình thì không được tặng); cửa hàng B giảm giá 15% nếu mua từ 4 bình trở lên. Bà Lim phải chi ít nhất bao nhiêu đô la để có 14 bình nước?

Một hình vuông cạnh $18$ cm nội tiếp một đường tròn. Trên các cạnh hình vuông, dựng các nửa hình tròn như hình vẽ. Tìm tổng diện tích bốn phần hình lưỡi liềm được tô đậm, tính bằng $\mathrm{cm}^2$.

Bốn đội tham gia một giải bóng đá. Mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một trận. Mỗi trận thắng được $3$ điểm, hòa được $1$ điểm, thua được $0$ điểm. Kết thúc giải, bốn đội có số điểm lần lượt là $5,1,x,6$. Tìm $x$.