Ngân hàng câu hỏi APMOPS 2006

Hình vẽ là một phần tư hình tròn $OAB$, tâm $O$, bán kính 6 cm. Miền tô đậm là hình chữ nhật. Tìm độ dài $CD$ theo xentimét.

Vẽ các đoạn thẳng để chia hình thành 4 hình giống hệt nhau và có diện tích bằng nhau.

Một tấm ván gỗ nằm trên bốn con lăn giống nhau trên mặt đất ngang. Chu vi mỗi con lăn là 1 m. Sau khi mỗi con lăn quay trọn một vòng, tấm ván đi được bao nhiêu mét? Giả sử không có sự trượt.

Jane và Mary mỗi người có một số tiền và muốn mua một quyển sách toán. Jane thiếu 52 đô la, Mary thiếu 2 đô la. Sau khi góp tiền lại, họ vẫn chưa mua được sách. Biết giá sách là số nguyên đô la, hỏi sách giá bao nhiêu?

Quy ước biên tập: mỗi bạn ban đầu có một số tiền dương, theo ý của đáp án gốc.

Trong một buổi gặp mặt, mỗi người trong 38 bạn nam nói chuyện với 3 bạn nữ, còn mỗi bạn nữ nói chuyện với 2 bạn nam. Có bao nhiêu bạn nữ?

Tìm số còn thiếu trong dãy $4,6,10,14,22,26,\square,38,46,58$.

Trong một bữa tiệc có một nhóm trẻ em. Các bạn nam luôn nói dối, các bạn nữ luôn nói thật. 10 bạn đưa ra các phát biểu:

A: Trong chúng ta chỉ có 1 bạn nam.

B: Trong chúng ta chỉ có 2 bạn nam.

C: Trong chúng ta chỉ có 3 bạn nam.

D: Trong chúng ta chỉ có 4 bạn nam.

E: Trong chúng ta chỉ có 5 bạn nam.

F: Trong chúng ta chỉ có 6 bạn nam.

G: Trong chúng ta chỉ có 7 bạn nam.

H: Trong chúng ta chỉ có 8 bạn nam.

I: Trong chúng ta chỉ có 9 bạn nam.

J: Tất cả chúng ta đều là nam.

Bạn nào là nữ?

Mỗi sáng Kevin phải đến trường trước hoặc đúng 8 giờ. Nếu đi 70 mét/phút, bạn đến sớm 10 phút. Nếu đi 60 mét/phút, bạn đến sớm 8 phút. Biết Kevin rời nhà sau 7 giờ, hãy tìm chính xác giờ bạn xuất phát.

Hình vẽ có 12 hình chữ nhật giống nhau nằm trong một hình chữ nhật lớn có một cạnh dài 54 cm. Tính tổng diện tích các miền tô đậm theo xentimét vuông.

Ba loại đồ ăn nhẹ là thanh sô-cô-la, bánh khoai tây và miếng bánh ngọt có giá lần lượt 1.50, 2.10, 3.30 đô la. Ben có 14 đô la và mua sao cho tiêu được nhiều tiền nhất. Ben còn lại bao nhiêu đô la?

Trong tam giác $ABC$, góc $ABC=76^\circ$, $AD=AF$, $CE=CF$. Tính góc $DFE$ theo độ.

Hai đường chạy A (đường nét đứt bên trong) và B (đường liền bên ngoài) đều gồm hai đoạn thẳng song song và hai đầu hình bán nguyệt. Hai đường cách nhau 1 m. Đường B dài hơn A bao nhiêu mét? Lấy $\pi=22/7$.

Mở đồng thời hai vòi A, B thì đầy bể trong 15 giờ. Nếu mở A trong 8 giờ rồi tắt, sau đó mở B thì cần thêm 50 giờ để đầy bể. Chỉ mở vòi B thì bao lâu đầy bể? Nhập thời gian theo giờ.

Hình vẽ là hình vuông $ABCD$ gồm 9 hình vuông nhỏ giống nhau. Các đỉnh $A,E,F,G,H,I,K,L,M$ đều được nối với $C$. Tính tổng các góc $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ theo độ.

Có một hàng đồng xu đánh số từ 1 đến 2006, ban đầu đều ngửa. Ở lượt thứ nhất, lật các đồng có số chia hết cho 1. Ở lượt thứ hai, lật các đồng có số chia hết cho 2. Ở lượt thứ ba, lật các đồng có số chia hết cho 3, và tiếp tục như vậy. Ở lượt 2006, lật các đồng có số chia hết cho 2006. Sau lượt 2006, có bao nhiêu đồng ngửa?

Hình vẽ gồm ba hình vuông giống nhau cạnh 1 m, với 10 điểm $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ như hình. Chọn 3 điểm làm đỉnh, lập được bao nhiêu tam giác diện tích 1 m² có ít nhất một cạnh nằm ngang hoặc thẳng đứng?

Tính giá trị

$$\begin{aligned}&\left(\frac12+\frac{345}{456}+\frac{567}{678}+1\right)\left(\frac{345}{456}+\frac{567}{678}+\frac78\right)\\&\quad-\left(\frac12+\frac{345}{456}+\frac{567}{678}\right)\left(\frac{345}{456}+\frac{567}{678}+\frac78+1\right).\end{aligned}$$

$ABCD$ là hình vuông cạnh 15 cm. $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$. Tính diện tích miền tô đậm theo xentimét vuông.

Có 3 hộp: một hộp chứa bóng trắng, một hộp chứa bóng đen, một hộp chứa búp bê. Trên nắp mỗi hộp có một câu. Câu trên hộp bóng trắng luôn đúng; câu trên hộp bóng đen luôn sai; câu trên hộp búp bê có thể đúng hoặc sai.

Hộp 1: Câu viết trên hộp 2 là đúng.

Hộp 2: Hộp 1 chứa bóng đen.

Hộp 3: Búp bê nằm trong hộp 1.

Búp bê ở hộp nào? Nhập số hộp.

Hình vẽ là một hình vuông chia thành 6 hình chữ nhật. Tổng chu vi của 6 hình chữ nhật bằng 220 cm. Tính diện tích hình vuông theo xentimét vuông.