SEAMO X 2020 — Paper D — Lớp 7–8

Roy viết tam giác Pascal, hàng đầu chứa một. Năm hàng đầu như hình. Tìm tổng các số trong hàng thứ mười.

ABCD là hình chữ nhật ba nhân bốn, $AE=EF=FB=1$. Tính diện tích phần tô.

Các số thực a,b,c khác không thỏa $a+b+c=0$. Tính $x^{2020}-2020x$, với $x=\frac a{b+c}-\frac b{c+a}+\frac c{a+b}$.

Tam giác vuông cân ABC chứa nửa hình tròn diện tích $2\pi$. Tâm O trên cạnh huyền AB, nửa đường tròn tiếp xúc AC và BC. Tính diện tích tam giác.

Có bao nhiêu số nguyên lẻ giữa không và một nghìn có các chữ số đôi một khác nhau?

Tìm hai chữ số cuối của $3^{2020}$.

Tính $\frac{2020^3-1}{2020\cdot2021+1}$.

Cho $x=\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cdots}}}$. Tính $x^2+x$.

Nếu $\alpha,\beta$ là nghiệm của $x^2+200x+20=0$, tính $\alpha/\beta+\beta/\alpha$.

Cho $a=-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$, $b=\sqrt2-\sqrt3+\sqrt5$, $c=\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$. Tính $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$.

Cắt một tam giác vuông cân ở mỗi góc hình vuông cạnh hai để tạo bát giác đều. Diện tích bằng $m+n\sqrt p$, với m,n,p nguyên và p nhỏ nhất. Tính m+n+p.

Chọn độc lập, đều các số nguyên dương a,b từ một đến một trăm. Xác suất $N=2^a+3^b$ chia hết cho năm là m/n tối giản. Tính m+n.

Lục giác đều trong hình có diện tích R. Phần tô có diện tích một. Tìm R.

Vòng đầu có các số một và hai quanh đường tròn. Mỗi vòng sau chèn tổng của từng cặp kề nhau vào giữa cặp đó, giữ lại các số cũ. Tìm tổng sau vòng thứ năm.

Tìm số dư khi chia $1^{2020}+2^{2020}+\cdots+2020^{2020}$ cho mười.