SEAMO 2021 — Paper E — Lớp 9–10

Tính $\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac1{2^2}\right)\left(1+\frac1{2^4}\right)\cdots\left(1+\frac1{2^{1024}}\right)$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa mãn $3^{200}\lt n^{100}\lt (123n)^{50}$?

Gọi $a_n$ là hai chữ số cuối của $6^n$, với $n$ nguyên dương; ví dụ $a_1=06,a_2=36,a_3=16$. Tìm hai chữ số cuối của $a_1+\cdots+a_{2021}$.

$ABCD$ là hình chữ nhật. Các điểm $X,Y$ nằm trên $BC,CD$; diện tích $\triangle ABX,\triangle CXY,\triangle AYD$ lần lượt là $3,4,5$. Tính $[\triangle AXY]$.

Tìm $a$ sao cho $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}=7$.

Tìm hệ số của $x^{49}$ trong $(x+1)(x+2)\cdots(x+50)$.

Trong $\triangle ABC$, $\angle A=30^\circ$, $\angle C=90^\circ$, $AC=1$. Dựng ngoài các tam giác đều $BCP,CAQ,ABR$. Gọi $T=QR\cap AB$. Tính $[PQT]$.

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n/5$ là chính phương, $n/2$ là lập phương, $27\mid n$.

Tính $\frac1{1+2}+\frac1{1+2+3}+\cdots+\frac1{1+2+\cdots+100}$.

Trong hình thang $ABCD$, $\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$, $AC\perp BD$, $AB=\sqrt7$, $BC=\sqrt{217}$. Tính $AD$.

Chọn hai số độc lập, phân bố đều trên $[0,1]$. Tính xác suất hiệu tuyệt đối của chúng lớn hơn $1/4$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{k=1}^{20}|n-k|$ khi $n$ là số nguyên dương.

Bồi thẩm đoàn $12$ người cần đa số tuyệt đối để kết tội. Bốn người sẽ bỏ phiếu CÓ, ba người KHÔNG; bốn người khác độc lập tung đồng xu cân đối để quyết định. Người cuối bỏ phiếu theo đa số của mười một người trước. Tính xác suất kết tội.

Cho mảng số như hình. Gọi $S_i$ là tổng các phần tử thuộc hàng $i$ hoặc cột $i$ của hình vuông $i\times i$ ở góc trên trái, tính ô góc một lần. Có $S_1=1,S_2=8,S_3=27$. Tính $S_{21}$.

Tìm $x$ nếu $2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=56\sqrt2$.

Vẽ $100$ tam giác trên mặt phẳng có thể tạo nhiều nhất bao nhiêu miền?

Trong $\triangle ABC$, $\angle C=3\angle A$, $BC=3$, $AB=5$. Tính $AC$.

Mười hai học sinh đánh số $1$ đến $12$ độc lập tung đồng xu cân đối. Học sinh $i$ được $i$ điểm nếu ngửa, $0$ nếu sấp. Tính xác suất tổng điểm chia hết cho $3$.

Hai góc nhọn $\alpha,\beta$ thỏa mãn $\sin\alpha=2021\cos(\alpha+\beta)\sin\beta$. Tìm giá trị lớn nhất của $\tan\alpha$.

Xếp ngẫu nhiên đều các số nguyên $1$ đến $9$, không lặp, vào bảng $3\times3$. Tính xác suất mọi tổng hàng và tổng cột đều lẻ.