SEAMO X 2021 — Paper E — Lớp 9–10

Các số thực thỏa mãn $\dfrac{x+26}{y}+\dfrac{170}{xy}=\dfrac{2-y}{x}$. Tính $(x+y)^2$.

Một tân binh xuất phát từ $0$ trên trục số, lần lượt nhảy các khoảng $2,4,8,16,32,64,128$, mỗi lần được chọn tiến hoặc lùi. Có bao nhiêu vị trí cuối khác nhau?

Có bao nhiêu số nguyên bốn chữ số có các chữ số giảm nghiêm ngặt từ trái sang phải?

Có bao nhiêu bộ ba có thứ tự gồm các số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc+2$?

Một họ $20$ đường thẳng song song bị cắt bởi một họ $21$ đường thẳng song song khác. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Một đồng hồ có kim phút dài $4$, kim giờ dài $3$. Từ $12$ giờ trưa đến $1$ giờ chiều, kể cả hai đầu mút, có bao nhiêu thời điểm khoảng cách hai đầu kim là số nguyên?

Có bao nhiêu cách đặt $3$ quân xe không phân biệt trên bàn cờ $5\times5$ sao cho không có hai quân cùng hàng hoặc cột?

Đường tròn tâm $O$ tiếp xúc một cạnh hình vuông và đi qua hai đỉnh như hình. Cạnh hình vuông bằng $48$. Tìm độ dài đường gấp khúc $AOBC$.

Các số thực dương thỏa mãn $\log_3(\log_2x)+\log_{1/3}(\log_{1/2}y)=1$ và $xy=9$. Tính $x+y$.

$2021$ học sinh ngồi thành vòng tròn. Bắt đầu từ bạn $A$, lần lượt đếm theo chiều kim đồng hồ $1,2,3,1,2,3,\ldots$; ai đếm $2$ hoặc $3$ rời vòng ngay, cho đến khi còn một người. Tìm vị trí gốc $n$ của người còn lại, tính $A$ là vị trí $1$.

Tìm diện tích được bao bởi đồ thị $x^2+y^2=|x|+|y|$ trên mặt phẳng tọa độ.

Trong các số nguyên của $A=\{1,2,\ldots,20\}$, gọi $m,n,p$ là số lượng số có đúng $2,3,4$ ước dương tương ứng, kể cả $1$ và chính nó. Tính $m+n+p$.

$ABC$ là tam giác đều và $P$ nằm trong tam giác, thỏa mãn $PA^2=PB^2+PC^2$. Tìm $\angle BPC$ theo độ.

Tìm bốn chữ số cuối của $1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+3\cdot4\cdot3+\cdots+99\cdot100\cdot3$.

Cho $S=\{1,2,\ldots,21\}$. Có bao nhiêu tập con ba phần tử có tổng chia hết cho $3$?