SEAMO 2020 — Paper E — Lớp 9–10

Tính $\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}$.

Hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $(a+b)^2=400$, $ab=50$. Tính $a^3+b^3$.

Đi theo hướng các mũi tên trong hình, có bao nhiêu đường đi từ $A$ đến $B$?

Trong $\triangle ABC$, hai đoạn $BM,CN$ cắt nhau tại $P$. Biết $[CMP]=3$, $[BNP]=4$, $[BCP]=5$, tính $[ABC]$.

Một nửa đường tròn nội tiếp tam giác đều; tam giác này nội tiếp nửa đường tròn lớn như hình. Tính tỉ số bán kính lớn với bán kính nhỏ.

Tính $\frac{\cos^4 15^\circ+\sin^4 15^\circ+2\sin^2 15^\circ\cos^2 15^\circ}{\cos^6 15^\circ+\sin^6 15^\circ+3\sin^2 15^\circ\cos^2 15^\circ}$.

Gọi $p,q,r$ là các nghiệm của $2x^3-5x^2-6x+2=0$. Tính $\frac1p+\frac1q+\frac1r$.

Các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc(a+b+c)=100$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $(a+b)(b+c)$.

Tính $\frac{2020}{\sqrt1+\sqrt5}+\frac{2020}{\sqrt5+\sqrt9}+\frac{2020}{\sqrt9+\sqrt{13}}+\cdots+\frac{2020}{\sqrt{2021}+\sqrt{2025}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ khi $0\lt x\lt \pi$.

Đa thức bậc ba $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ có các nghiệm thực $x_1,x_2,x_3$. Biết $a+c=10$, $b=5$, tính $(x_1^2-1)(x_2^2-1)(x_3^2-1)$.

Hai người độc lập đến phòng tập vào các thời điểm ngẫu nhiên đều trong cùng khoảng ba giờ. Mỗi người ở lại $1{,}5$ giờ. Tính xác suất họ gặp nhau.

Hình xếp các số từ $1$ đến $9$ theo hàng trong hình vuông $3\times3$, có tổng đường chéo $15$. Xếp tương tự các số từ $1$ đến $100$. Tổng đường chéo là bao nhiêu?

Tìm số dư khi chia $2020!\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{2020}\right)$ cho $2021$.

Amos, Bryan, Catherine chơi cờ một chọi một. Hai người chơi, người thứ ba xem; người thắng ở lại gặp người đang xem, người thua ra ngoài. Amos chơi $7$ ván, Bryan $10$, Catherine $13$. Ai thua ván thứ hai?

Hình vẽ có năm vòng tròn được nối. Dùng bốn màu phân biệt, có bao nhiêu cách tô để hai vòng tròn được nối luôn khác màu?

Hai đường tròn $C_1,C_2$ khác kích thước tiếp xúc trong. Trong hình có $AB=18$, $CD=10$. Tính diện tích tô đậm.

Điểm $P$ nằm trong tam giác đều $ABC$, có $\angle APB=120^\circ$, $\angle BPC=130^\circ$. Một tam giác mới có ba cạnh dài $AP,BP,CP$. Tính góc lớn nhất của tam giác mới.

Các số thực $a,b$ thỏa mãn $ab\ne1$, $3a^2-4a-5=0$, $5b^2+4b-3=0$. Tính $\frac{(a+1)(b+1)}b$.

Hai mươi lăm chuyên viên tiếp thị ngồi quanh bàn tròn. Chọn ngẫu nhiên đều một nhóm ba người. Xác suất nhóm có ít nhất một cặp ngồi cạnh nhau là $m/n$ tối giản. Tính $m+n$.