VTMO 2013 — Lớp 8 — Chung kết

$a + b + c = 3 , a^{2} + b^{2} + c^{2} = 7 , a^{3} + b^{3} + c^{3} = 15$. Tính $a^{4} + b^{4} + c^{4}$.

$a \ge b \ge c \gt 0$. Chứng minh $\left(a - b + c\right) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 1$.

Tìm mọi cặp nguyên $\left(x , y\right) : 2 x^{2} - xy + 3 x - 2 y = 5$.

$ABC$ vuông $A , AC = 2 AB , M$ trung điểm $AB$. Qua $A$ kẻ vuông góc $CM$, cắt $BC$ tại $D$. Tính $\frac{BD}{DC}$.

$ABC$ có $BAC = 120 ^{\circ} , AD , BE , CF$ là các phân giác, $D \in BC , E \in AC , F \in AB$. Chứng minh $DE \perp DF$.