AMC 10B năm 2021

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn $|x| < 3\pi?$

Giá trị của $$
\begin{aligned} &\sqrt{\left(3-2\sqrt{3}\right)^2} \\ &{}+\sqrt{\left(3+2\sqrt{3}\right)^2}? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu

Trong chương trình ngoại khóa dành cho học sinh cấp 1 và cấp 3, trong đội có một đội hùng biện với số lượng học sinh mỗi lớp bằng nhau. Trong số $28$ học sinh của chương trình, $25\%$ của học sinh lớp dưới và $10\%$ của học sinh cuối cấp đều tham gia nhóm tranh luận. Có bao nhiêu thiếu niên trong chương trình?

Tại một cuộc thi toán, $57$ học sinh mặc áo sơ mi xanh và một học sinh $75$ khác mặc áo sơ mi màu vàng. Học sinh $132$ được chia thành các cặp $66$. Trong chính xác $23$ trong số các cặp này, cả hai học sinh đều mặc áo sơ mi xanh. Có bao nhiêu cặp học sinh đều mặc áo vàng?

Tuổi của bốn anh em họ của Jonie là các số nguyên dương có một chữ số riêng biệt. Tuổi của hai anh em họ nhân với nhau sẽ ra $24,$ trong khi hai số còn lại nhân lên $30.$ Tổng số tuổi của bốn anh em họ của Jonie là bao nhiêu?

Cô Blackwell chấm bài cho hai lớp. trung bình cộng điểm của học sinh lớp buổi sáng là $84,$ và điểm trung bình cộng của lớp buổi chiều là $70.$ Tỷ lệ số học sinh lớp buổi sáng so với số học sinh lớp buổi chiều là $\frac{3}{4}.$ Điểm trung bình cộng của tất cả các học sinh là bao nhiêu? sinh viên?

Trong một mặt phẳng, bốn đường tròn có bán kính $1,$ $3,$ $5,$ và $7$ tiếp xúc với đường thẳng $\ell$ tại cùng một điểm $A,$ nhưng chúng có thể nằm ở hai bên của $\ell.$ Vùng $S$ bao gồm tất cả các điểm nằm bên trong đúng một trong bốn đường tròn. diện tích tối đa có thể của vùng $S?$ là bao nhiêu

Ông Chu đặt tất cả các số nguyên từ $1$ đến $225$ vào lưới $15$ theo $15$. Anh ấy đặt $1$ vào ô vuông ở giữa (hàng thứ tám và cột thứ tám) và đặt các số khác lần lượt theo chiều kim đồng hồ, như được hiển thị một phần trong sơ đồ bên dưới. Tổng của số lớn nhất và số nhỏ nhất ở hàng thứ hai từ trên xuống là bao nhiêu?

Điểm $P(a,b)$ trong mặt phẳng $xy$ trước tiên được quay ngược chiều kim đồng hồ bởi $90^\circ$ quanh điểm $(1,5)$ và sau đó phản ánh về đường thẳng $y = -x.$ Ảnh của $P$ sau hai phép biến đổi này là $(-6,3).$ $b - a?$ là gì

Một hình nón ngược có bán kính đáy $12 \mathrm{ cm}$ và chiều cao $18 \mathrm{ cm}$ chứa đầy nước. Người ta đổ nước vào một hình trụ cao có đáy nằm ngang có bán kính $24 \mathrm{ cm}.$ Chiều cao của nước trong hình trụ là bao nhiêu cm?

Bà vừa nướng xong một chảo bánh hạnh nhân hình chữ nhật lớn. Cô dự định làm những miếng hình chữ nhật có kích thước và hình dạng bằng nhau, với những đường cắt thẳng song song với các cạnh của chảo. Mỗi vết cắt phải được thực hiện hoàn toàn trên chảo. Bà muốn làm số lượng mảnh nội thất bằng với số mảnh dọc theo chu vi của chảo. Số bánh hạnh nhân lớn nhất mà cô ấy có thể sản xuất là bao nhiêu?

Đặt $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270.$ Tỉ lệ của tổng các ước số lẻ của $N$ với tổng các ước số chẵn của $N?$ là bao nhiêu?

Đặt $n$ là số nguyên dương và $d$ là một chữ số sao cho giá trị của chữ số $\underline{32d}$ trong cơ sở $n$ bằng $263,$ và giá trị của chữ số $\underline{324}$ trong cơ sở $n$ bằng giá trị của chữ số $\underline{11d1}$ trong cơ số sáu. $n + d?$ là gì

Ba đường thẳng song song cách đều nhau cắt nhau thành một đường tròn, tạo thành ba dây có độ dài $38,$ $38,$ và $34.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song liền kề là bao nhiêu?

Số thực $x$ thỏa mãn phương trình $$
x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}.
$$ Giá trị của $x^{11}-7x^{7}+x^3?$ là bao nhiêu

Gọi một số nguyên dương là số nguyên tăng lên nếu mọi chữ số đều lớn hơn chữ số trước đó. Ví dụ: $1357,$ $89,$ và $5$ đều là số nguyên dốc lên, nhưng $32,$ $1240,$ và $466$ thì không. Có bao nhiêu số nguyên tăng dần là chia hết cho $15?$

Ravon, Oscar, Aditi, Tyrone và Kim chơi bài. Mỗi người được phát $2$ thẻ trong bộ $10$ thẻ được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\dots,$ $10.$ Điểm của người chơi là tổng số quân bài của họ. Điểm số của những người chơi như sau: Ravon--$11,$ Oscar--$4,$ Aditi--$7,$ Tyrone--$16,$ Kim--$17.$ Câu nào sau đây đúng?

Một con súc sắc có mặt $6$ hợp lý được tung liên tục cho đến khi xuất hiện một số lẻ. xác suất mà mọi số chẵn đều xuất hiện ít nhất một lần trước lần xuất hiện đầu tiên của số lẻ là gì?

Giả sử rằng $S$ là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương.

Nếu số nguyên lớn nhất trong $S$ bị xóa khỏi $S,$ thì giá trị trung bình (số học trung bình cộng) của các số nguyên còn lại là $32.$ Nếu số nguyên nhỏ nhất trong $S$ cũng bị xóa, thì giá trị trung bình của các số nguyên còn lại là $35.$ Nếu số nguyên lớn nhất sau đó được trả về tập hợp, giá trị trung bình của các số nguyên tăng lên $40.$ Số nguyên lớn nhất trong tập hợp ban đầu $S$ là $72$ lớn hơn số nguyên nhỏ nhất trong $S.$

Giá trị trung bình của tất cả các số nguyên trong tập $S?$ là bao nhiêu

Hình bên dưới được xây dựng từ các đoạn thẳng $11$, mỗi đoạn có độ dài $2.$ diện tích của hình ngũ giác $ABCDE$ có thể được viết là $\sqrt{m} + \sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. $m + n?$ là gì