IMO 1993 - Đề thi chính thức

Cho số nguyên $n\gt 1$ và $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$. Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức $g(x),h(x)$, mỗi đa thức có hệ số nguyên và bậc ít nhất bằng một, sao cho $f(x)=g(x)h(x)$.

$A,B,C,D$ là bốn điểm trong mặt phẳng, với $C,D$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$, sao cho $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ và $\angle ADB=90^\circ+\angle ACB$. Tìm tỉ số
$$\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD},$$
và chứng minh rằng các đường tròn $ACD,BCD$ trực giao. (Hai đường tròn cắt nhau được gọi là trực giao nếu tại một trong hai giao điểm, các tiếp tuyến của chúng vuông góc nhau.)

Trên một bàn cờ vô hạn, trò chơi một người được tiến hành như sau: Ban đầu có $n^2$ quân chiếm $n^2$ ô tạo thành một hình vuông cạnh $n$. Nước đi duy nhất được phép là nhảy theo phương ngang hoặc dọc qua một ô có quân đến một ô trống, và quân bị nhảy qua được bỏ đi. Với những số nguyên dương $n$ nào, trò chơi có thể kết thúc khi chỉ còn một quân trên bàn?

Với ba điểm $A,B,C$ trong mặt phẳng, định nghĩa $m(ABC)$ là độ dài nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác $ABC$, và khi $A,B,C$ thẳng hàng, $m(ABC)=0$. Cho các điểm $A,B,C$ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi điểm $X$ trong mặt phẳng,
$$m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).$$

Cho $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$. Xác định xem có tồn tại một hàm tăng nghiêm ngặt $f:\mathbb N\to\mathbb N$ với các tính chất sau hay không:
$$f(1)=2;\tag{1}$$
$$f(f(n))=f(n)+n\qquad(n\in\mathbb N).\tag{2}$$

Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn $1$. Xếp thành vòng tròn $n$ bóng đèn $L_0,\ldots,L_{n-1}$, mỗi bóng có thể BẬT hoặc TẮT, ban đầu tất cả đèn đều BẬT, rồi thực hiện một dãy bước $\mathrm{Step}_0,\mathrm{Step}_1,\ldots$. Nếu $L_{j-1}$ ($j$ được lấy theo môđun $n$) đang BẬT, thì $\mathrm{Step}_j$ đổi trạng thái của $L_j$ (từ BẬT sang TẮT hoặc từ TẮT sang BẬT) nhưng không đổi trạng thái của bất kỳ đèn nào khác. Nếu $L_{j-1}$ đang TẮT thì $\mathrm{Step}_j$ không thay đổi gì. Chứng minh rằng:
(a) Có số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước mọi đèn lại BẬT.
(b) Nếu $n$ có dạng $2^k$ thì mọi đèn đều BẬT sau $n^2-1$ bước.
(c) Nếu $n$ có dạng $2^k+1$ thì mọi đèn đều BẬT sau $n^2-n+1$ bước.