AMC 10B năm 2013

Giá trị của biểu thức sau là gì? $$
\frac{2+4+6}{1+3+5} - \frac{1+3+5}{2+4+6}
$$

Ông Green đo khu vườn hình chữ nhật của mình bằng cách đi bộ hai bên và thấy rằng nó dài $15$ bước $20$ bước. Mỗi bước đi của ông Green dài $2$ feet. Ông Green mong đợi có được nửa pound khoai tây trên mỗi foot vuông từ khu vườn của mình. Ông Green mong đợi bao nhiêu pound khoai tây từ khu vườn của mình?

Vào một ngày cụ thể trong tháng Giêng, nhiệt độ cao ở Lincoln, Nebraska, cao hơn $16$ độ so với nhiệt độ thấp và nhiệt độ trung bình của nhiệt độ cao và thấp là $3$ độ. Nhiệt độ thấp ở Lincoln ngày hôm đó là bao nhiêu (tính bằng độ)?

Khi đếm từ $3$ đến $201,$ số $53$ ở vị trí $51.$ Khi đếm ngược từ $201$ đến $3,$ thì số $53$ ở vị trí $n.$ là gì $n?$

Các số nguyên dương $a$ và $b$ đều nhỏ hơn $6.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của biểu thức sau là bao nhiêu? $$
2 \cdot a - a \cdot b
$$

Độ tuổi trung bình của $33$ học sinh lớp năm là $11.$ Độ tuổi trung bình của $55$ của cha mẹ các em là $33.$ Độ tuổi trung bình của tất cả các bậc cha mẹ và học sinh lớp năm này là bao nhiêu?

Sáu điểm cách đều nhau xung quanh một đường tròn bán kính $1.$ Ba trong số các điểm này là các đỉnh của một tam giác không đều cũng không cân. diện tích của tam giác này là gì?

Xe của Ray đạt trung bình $40$ dặm/gallon xăng, và xe của Tom trung bình $10$ dặm/gallon xăng. Ray và Tom mỗi người lái xe cùng số km. Tỷ lệ kết hợp của xe ô tô dặm mỗi gallon xăng là gì?

Ba số nguyên dương, mỗi số lớn hơn $1,$ có tích là $ 27000,$ và là các số nguyên tố tương đối theo cặp. Tổng của họ là bao nhiêu?

Các cầu thủ của một đội bóng rổ đã thực hiện thành công $50\%$ số cú sút hai điểm và $40\%$ số cú sút ba điểm, dẫn đến $54$ điểm. Họ đã cố gắng $50\%$ cú sút hai điểm nhiều hơn cú sút ba điểm. Họ đã thử bao nhiêu cú ném ba điểm?

Các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình $$
x^2+y^2=10x-6y-34.
$$ $x+y?$

Đặt $ S $ là tập hợp các cạnh và đường chéo của một hình ngũ giác đều. Một cặp phần tử $ S $ được chọn ngẫu nhiên mà không thay thế. xác suất mà hai đoạn được chọn có cùng độ dài là bao nhiêu?

Jo và Blair lần lượt đếm từ $1$ đến nhiều hơn số cuối cùng mà người kia nói đến một đơn vị. Jo bắt đầu bằng cách nói “$1$”, vì vậy Blair tiếp theo bằng cách nói “$1,$ $2$”. Sau đó, Jo nói “$1,$ $2,$ $3$”, v.v. Số nào được đọc ở vị trí $53$?

Xác định $ a\clubsuit b=a^2b-ab^2.$ Câu nào sau đây mô tả tập hợp các điểm $ (x, y) $ mà $ x\clubsuit y=y\clubsuit x?$

Một sợi dây được cắt thành hai đoạn, một đoạn có chiều dài $a$ và đoạn kia có chiều dài $b.$ Đoạn có chiều dài $a$ được uốn cong để tạo thành tam giác đều và đoạn có chiều dài $b$ được uốn thành hình lục giác đều. Hình tam giác và hình lục giác có bằng nhau diện tích. $\frac{a}{b}?$ là gì

Trong tam giác $\triangle ABC,$ các đường trung tuyến $AD$ và $CE$ cắt nhau tại $P,$ $PE=1.5,$ $PD=2,$ và $DE=2.5.$ diện tích của $AEDC?$

Alex có $75$ mã thông báo màu đỏ và $75$ mã thông báo màu xanh lam. Có một gian hàng nơi Alex có thể đưa hai mã thông báo màu đỏ và nhận lại một mã thông báo bạc và một mã thông báo màu xanh và một gian hàng khác nơi Alex có thể đưa ba mã thông báo màu xanh và nhận lại một mã thông báo bạc và một mã thông báo màu đỏ. Alex tiếp tục trao đổi token cho đến khi không thể trao đổi được nữa. Cuối cùng Alex sẽ có bao nhiêu đồng bạc?

Số $2013$ có tính chất là chữ số hàng đơn vị là tổng các chữ số khác của nó, tức là $2+0+1=3.$ Có bao nhiêu số nguyên nhỏ hơn $2013$ nhưng lớn hơn $1000$ có đặc tính này?

Các số thực $c,$ $b,$ $a$ tạo thành cấp số cộng với $a \geq b \geq c \geq 0.$ Số bậc hai $ax^2+bx+c$ có chính xác một nghiệm. Gốc này là gì?

Số $2013$ được biểu thị dưới dạng $$
2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},
$$ trong đó $$
a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m
$$ và $$
b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n
$$ là số nguyên dương và $a_1 + b_1$ càng nhỏ càng tốt. $|a_1 - b_1|?$ là gì