IMAS 2021 — Lớp 5–6 — Vòng 2

Robert sắp xếp những cuốn sách yêu thích của mình bằng cách viết các số theo cách sau: 1, 2, 3,…. Được biết, tổng của tất cả các số anh viết là bội số của 100 và nhỏ hơn 1000. Số lớn nhất mà Robert viết trong một cuốn sách là bao nhiêu?

Sơ đồ dưới đây cho thấy một hình vuông được tạo thành từ bốn phần. Hai phần nào có diện tích bằng nhau?

Trong dãy 1, 2, 4, 8, 6,… Bắt đầu từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng được hình thành bằng cách nhân số hạng trước đó với 2 rồi lấy số dư khi chia cho 10. Số hạng thứ 2022 là gì?

Có bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số có thể lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3 và 4, nếu cho phép lặp lại chữ số trong mỗi số? (Chữ số đầu tiên không được là 0.)

Chia các số 1, 2, …, 12 thành 4 nhóm sao cho mỗi nhóm gồm ba số và tổng của hai số đó bằng số thứ ba. Tích nhỏ nhất của bốn tổng đó là bao nhiêu?

Có hai cửa hàng bán cùng một mặt hàng. Cửa hàng A bán mặt hàng theo giá niêm yết và bán hết và thu về tổng cộng 7200 USD. Cửa hàng B bán cùng một mặt hàng với giá giảm 20% so với giá niêm yết và bán được nhiều hơn cửa hàng A 15 sản phẩm. Nếu biết hai cửa hàng có thu nhập như nhau thì cửa hàng A đã bán được bao nhiêu sản phẩm?

Larry sở hữu một chiếc lồng có thể chứa tổng cộng 15 con công và vẹt. Nếu hộp thức ăn bên trong lồng được lấp đầy thì chim có thể ăn hết trong 6 ngày. Sau đó, một con vẹt được thêm vào lồng. Hộp thức ăn đã đầy ngay từ đầu và $\frac1{16}$ lượng thức ăn được thêm vào mỗi ngày. Sau đúng 9 ngày, hộp thức ăn đã hoàn toàn trống rỗng. Được biết, con công ăn lượng thức ăn gấp đôi con vẹt mỗi ngày. Hơn nữa, cả hai loại chim đều ăn một lượng thức ăn cố định hàng ngày. Có bao nhiêu con công ở trong lồng?

Các số từ 1, 2, 3, …, 100 được viết lên bảng. Đầu tiên Peter tính tổng của những con số này. Sau đó Mary lấy tổng mà Peter đã tính và trừ đi tổng của tất cả các chữ số viết trên bảng. Mary nhận được kết quả gì?

Có bao nhiêu cách khác nhau để vẽ đường tròn thứ tư trên mặt phẳng chứa ba đường tròn rời nhau như trên hình sao cho cả ba đường tròn đều tiếp xúc với chu vi của đường tròn thứ tư?

Có bốn số nguyên dương khác nhau sao cho tích của chúng gấp bảy lần tích của mỗi số trừ đi 3. Giá trị nhỏ nhất của tích của bốn số nguyên này là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách vẽ ba đường chéo không giao nhau bên trong hình lục giác đều ABCDEF sao cho hình này được chia thành 4 hình tam giác (không nhất thiết tất cả các hình tam giác đều phải có cùng kích thước)?

Trong một hàng có ít nhất một bạn nữ và ít nhất một bạn nam. Hai đứa trẻ có đúng 4 hoặc 7 đứa trẻ khác ở giữa đều cùng giới tính. Số lượng trẻ em tối đa trong hàng này là bao nhiêu?

Một số ô vuông đơn vị trên bảng $6\times4$ có màu xám, như minh họa trong sơ đồ bên dưới. Tìm số cách chọn bốn ô vuông đơn vị màu xám khác nhau sao cho hai ô vuông đơn vị bất kỳ được chọn đều nằm trên các hàng và cột khác nhau.

Một chuỗi nhìn và nói liên tục được hình thành theo cách này: Bắt đầu bằng ba số 1; đọc các số hạng dưới dạng “ba số 1” và viết ra những gì bạn đọc là “31” ở cuối chuỗi; đọc nhóm số giống hệt chưa đọc tiếp theo là “một số 3” và viết “13” ở cuối; tiếp tục theo cách này để có được dãy số vô hạn 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 2, 1, ….
(a) Chữ số lớn nhất có thể viết được là bao nhiêu? Tại sao? (5 điểm)
(b) Số hạng thứ 20 của dãy này là bao nhiêu? Tại sao? (5 điểm)
(c) Số “333” có xuất hiện trong dãy không? Tại sao hoặc tại sao không? (10 điểm)

(b) Số hạng thứ 20 của dãy này là . Lý do là:
(c) □ Có. □ Không. Lý do là:

Trong sơ đồ bên dưới, ABC là một tam giác vuông có ba hình vuông có kích thước khác nhau được vẽ bên trong nó. Nếu $AD=50$ cm và $CD=200$ cm thì diện tích, tính bằng cm², của vùng được tô bóng là bao nhiêu?