IMAS 2019–2020 cấp Junior — Vòng 1

Giá trị rút gọn của $(2019-2020)^{2020}+(2018-2019)^{2019}$ là bao nhiêu?

Hình dưới đây có $AB=BC=CD$, $AC=BD$ và $\angle A=80^\circ$. Số đo của $\angle ACD$ bằng bao nhiêu độ?

Trong tam giác $ABC$, $\angle A$ là góc vuông. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $BC$ tại $D$. Các đường thẳng qua $D$ lần lượt cắt vuông góc $AB$ và $AC$ tại $E$ và $F$. Tổng cộng có bao nhiêu tam giác vuông trong hình?

Một phần ba của một góc nhọn cộng với góc phụ của nó bằng $60^\circ$. Góc bù của góc nhọn này bằng bao nhiêu độ?

Có số nguyên $n$ sao cho $2020\times\left(\frac{10}{101}\right)^n$ là số nguyên. Có bao nhiêu giá trị $n$ có thể có?

Nhà ăn của trường bán ba loại cơm hộp với giá lần lượt là 15 đô-la, 13 đô-la và 11 đô-la. Một ngày nọ, tổng doanh thu của nhà ăn là 2019 đô-la. Số nào sau đây có thể là số cơm hộp đã bán trong ngày đó?

Trong một kỳ thi, 25 học sinh đạt điểm xuất sắc môn Ngôn ngữ. Số học sinh đạt điểm xuất sắc môn Toán nhiều hơn môn Ngôn ngữ 2 em. Số học sinh đạt điểm xuất sắc ở cả Toán và Ngôn ngữ bằng một phần ba tổng số học sinh. Mỗi học sinh đều đạt điểm xuất sắc ở ít nhất một môn. Tổng cộng có bao nhiêu học sinh?

Định nghĩa phép toán $a*b=\frac{a+b+2019}{a-b+2019}$. Nếu $a*2019=7$, giá trị của $a$ là bao nhiêu?

Số nguyên không âm $x$ thỏa mãn $|2x+5|\le15\times(1+x+x^2+\cdots+x^{2019})^0$. Tổng tất cả các giá trị $x$ như vậy là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $AB=AC$. Các đoạn $AD$ và $AE$ chia $\angle BAC$ thành ba phần bằng nhau như hình. Nếu $\angle ADB=110^\circ$, $\angle ABC$ bằng bao nhiêu độ?

Khi $x=5$, biểu thức $mx^5+nx^3+kx+2$ bằng 100. Giá trị của $mx^5+nx^3+kx+2$ khi $x=-5$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, khoảng cách giữa hai điểm lưới kề nhau là 1 cm. Diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu cm$^2$?

Mỗi ô vuông trong hình dưới đây được điền một số nguyên dương sao cho tổng các số trong mỗi hình chữ thập (năm ô vuông) chia hết cho 3.

Hình chữ thập:



Giá trị nhỏ nhất của $A+B+C+D+E$ là bao nhiêu?

Số có mười chữ số $\overline{A20192020B}$ chia hết cho 9, trong đó $A$, $B$ là các chữ số. Nếu chữ số hàng chục nghìn của thương bằng 0, giá trị của $|A-B|$ là bao nhiêu?

Cho $x$ là số nguyên sao cho $\frac{21}{2+x}$ là số nguyên. Có bao nhiêu giá trị $x$ như vậy?

Cho $|a|=3$, $|b|=5$, $|c|=7$, $|d|=11$. Giá trị nhỏ nhất có thể của biểu thức $ab+ac+ad+bc+bd+cd$ là bao nhiêu?

Trong hình chữ nhật $ABCD$, $AB=\sqrt3$ cm, $BC=3$ cm. Đặt tam giác vuông $DCE$ bên ngoài $ABCD$, chung cạnh $CD$, với $\angle CDE=30^\circ$. Gấp theo $AC$ sao cho $B$ trùng với $K$. Nối $KA$, $KC$, $KE$, $KD$ như hình. Diện tích phần tô đậm bằng bao nhiêu cm$^2$?

Cho $x=\sqrt{19-8\sqrt3}$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Mickey có một tờ giấy kẻ ô vuông lớn. Mỗi ô vuông nhỏ có cạnh dài 1 cm. Bạn vẽ một đường tròn tâm tại một đỉnh của ô vuông, bán kính 6 cm. Có bao nhiêu ô vuông nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn?

Giả sử $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ là một cách sắp xếp các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, trong đó các chữ khác nhau biểu thị các số khác nhau. Nhiều nhất bao nhiêu phân số trong mười phân số $\frac ab,\frac bc,\frac cd,\frac de,\frac ef,\frac fg,\frac gh,\frac hi,\frac ij,\frac ja$ có giá trị là số nguyên?