TIMO - 2018 - Lớp 7 - Vòng quốc gia - Đề 2

Cho $A,C$ là hai chữ số khác 0. Các số có hai chữ số tạo bởi chúng thỏa mãn:
1. $\overline{CA}$ chia hết cho 8.
2. $\overline{AC}$ là số lập phương.
Tìm số có hai chữ số $\overline{CA}$.

Chia các số 2, 3, 5, 7, 14, 33, 65, 143 thành hai nhóm, mỗi nhóm bốn số, sao cho tích các số trong hai nhóm bằng nhau. Tìm tổng các số của nhóm chứa số 7.

Có 30 em nhỏ được đánh số từ 1 đến 30, ngồi theo thứ tự quanh một vòng tròn. Mỗi em cầm một số nguyên. Em số 1 cầm số 1; em số 2 cầm số 2. Tổng các số nguyên của chín em liên tiếp bất kỳ bằng 30. Em số 30 cầm số nguyên nào?

Một cuộc thi toán có 20 bài. Mỗi bài trả lời đúng được hai điểm; bỏ trống hoặc trả lời sai được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có hai thí sinh đạt cùng tổng điểm?

Có bốn đôi đũa trắng, năm đôi đũa vàng và sáu đôi đũa nâu được trộn lẫn. Nhắm mắt lấy đũa. Muốn lấy được ba đôi đũa của mỗi màu khác nhau, cần lấy ít nhất bao nhiêu chiếc?

Tìm $x$ nếu $(2x+3)+(4x-9)=0$.

Cho $\lvert x-4\rvert+y^2-2y+1=0$. Tính $(7y-2x)+(7y-2x)^2+\cdots+(7y-2x)^{2017}$.

Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương $x$ thỏa mãn $20x-17<1225$?

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b=7$ và $ab=12$. Tìm $a^2+b^2$.

$a$ là số thực âm và $a
e-2$. Nếu $a+\frac1{a+2}=-4$, tìm $a$.

Tìm số ước dương của tích $2017\times1221$.

Tính $2017^2-2016^2+2015^2-2014^2+2013^2-2012^2+\cdots+3^2-2^2+1^2-0^2$.

Tìm chữ số hàng đơn vị của $A=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2016}+2^{2017}$.

Cho $x>0$ và $x+\frac1x=1221$. Tìm $x^2+\frac1{x^2}$.

Tổng của mười số nguyên phân biệt là 5959. Tìm giá trị lớn nhất có thể của ước chung lớn nhất của chúng.

Ghép 1221 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật đặc. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần hình hộp.

Một tam giác có ba cạnh dài 20 cm, 48 cm, 52 cm. Tính diện tích tam giác theo cm².

Các khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm được xếp chồng theo quy luật trong hình. Nếu có mười lớp, tính diện tích bề mặt.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, với $\angle ABC=90^\circ$. Khoảng cách từ $B$ đến trung điểm của $AC$ là 6 cm. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ABC$.

Hình là một hình vuông cạnh 14 được chồng lên bởi hai phần tư hình tròn. Tính diện tích phần tô đậm. Lấy $\pi=\frac{22}{7}$.