AMC 10B năm 2002

Giá trị của tỷ lệ là gì

$$
\dfrac{2^{2001} \cdot 3^{2003}}{6^{2002}}?
$$

Đối với các số khác 0 $a,$ $b,$ và $c,$ hãy xác định $$
(a, b, c) = \dfrac{abc}{a+b+c}.
$$ $(2, 4, 6)?$ là gì

Số học trung bình cộng của chín số trong tập hợp $\{9, 99, 999, 9999, \ldots, 999999999\}$ là một số $9$-chữ số $M,$ tất cả các chữ số đều khác nhau. Số $M$ không chứa chữ số nào?

Giá trị của $$
\begin{aligned} &(3x - 2)(4x + 1) \\ &\quad {}- (3x - 2)4x + 1 \end{aligned}
$$ là bao nhiêu khi $x = 4?$

Các đường tròn bán kính $2$ và $3$ là tiếp tuyến ngoài và được bao quanh bởi đường tròn thứ ba, như minh họa trong hình. diện tích của vùng được tô bóng là gì?

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ là $n^2 - 3n + 2$ là số nguyên tố?

Đặt $n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac17 + \dfrac1n$ là số nguyên. Câu nào sau đây **không** đúng?

Giả sử tháng 7 năm $N$ có năm ngày Thứ Hai. Điều nào sau đây phải xảy ra năm lần vào tháng 8 năm $N?$ (Lưu ý: cả hai tháng đều có $31$ ngày.)

Sử dụng các chữ cái $A,$ $M,$ $O,$ $S,$ và $U,$ chúng ta có thể tạo thành $120$ “từ” gồm 5 chữ cái. Nếu các “chữ” này được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái thì “chữ” $USAMO$ chiếm vị trí nào?

Giả sử rằng $a$ và $b$ là các số thực khác 0 và phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm $a$ và $b.$ Cặp $(a, b)?$ là gì

Tích của ba số nguyên dương liên tiếp là $8$ nhân với tổng của chúng. Tổng bình phương của chúng là bao nhiêu?

Với giá trị nào sau đây của $k$ thì phương trình $$
\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}
$$ không có nghiệm cho $x?$

Giá trị nào của $x$ làm cho $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ đúng với tất cả các giá trị của $y?$

Số $25^{64} \cdot 64^{25}$ là bình phương của một số nguyên dương $N.$ Trong biểu diễn thập phân, tổng các chữ số của $N?$ là bao nhiêu

Các số nguyên dương $A,$ $B,$ $A - B,$ và $A + B$ đều là số nguyên tố. Tổng của bốn số nguyên tố này là

Với bao nhiêu số nguyên $n$ thì $\dfrac{n}{20 - n}$ là bình phương của một số nguyên?

Một hình bát giác đều $ABCDEFGH$ có cạnh dài bằng hai. diện tích của $\triangle ADG?$ là gì

Bốn đường tròn phân biệt được vẽ trong một mặt phẳng. Số điểm tối đa mà tại đó ít nhất hai đường tròn giao nhau là bao nhiêu?

Giả sử rằng $\{a_n\}$ là một cấp số cộng với $$
a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100
$$ và $$
a_{101} + a_{102} + \cdots + a_{200} = 200.
$$ Giá trị của $a_2 - a_1?$ là bao nhiêu

Đặt $a,$ $b,$ và $c$ là các số thực sao cho $a - 7b + 8c = 4$ và $8a + 4b - c = 7.$ $a^2 - b^2 + c^2?$ là gì