MYTS 2017 - Lớp 9 - Vòng 2

Cho bốn số thực không nhất thiết phân biệt có tổng bằng 172, đồng thời tổng hai số tùy ý trong bốn số luôn không âm. Gọi ℓ là số nhỏ nhất, hỏi giá trị nhỏ nhất của ℓ bằng bao nhiêu?

Cho $f(x)=x^5-x^4-5x^3-x^2-x-1$ và $g(x)=x^3-x^2-5x-1$. Biết g(x)=0 có ba nghiệm phân biệt a,b,c, tìm f(a)+f(b)+f(c).

Tìm tất cả các cặp (p,n), trong đó p là số nguyên tố và n là số nguyên dương, sao cho $p^n+144$ là số chính phương.

Hình vẽ là một hình tháp gồm 21 ô vuông. Thầy Thuận điền vào mỗi ô một số tự nhiên sao cho, không kể các ô trong hàng dưới cùng, số ghi trong mỗi ô bằng tổng hai số ghi trong hai ô liền dưới nó. Hình đã điền số là một ví dụ. Hỏi thầy Thuận có thể viết được ít nhất bao nhiêu số CHẴN trong hình tháp? Tại sao?

Có 100 vận động viên thi đấu bóng bàn loại trực tiếp: người thua bị loại ngay, không có hòa. Hai người chỉ được thi đấu với nhau nếu số trận họ đã đấu chênh lệch không quá 1. Cuối cùng còn đúng một nhà vô địch, mọi người khác đều bị loại. Nhà vô địch có thể thắng nhiều hơn 9 trận không? Tại sao?

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn γ. D nằm trên cung BC không chứa A. E,F lần lượt trên cạnh AB,AC sao cho BE=BD, CF=CD. G là trung điểm EF. Chứng minh BG vuông góc GC.