Cùng một thời điểm, xe X xuất phát từ thành phố A hướng về B, xe Y xuất phát từ B hướng về A. Hai xe có vận tốc riêng không đổi, xe Y nhanh hơn xe X 20 km/h. Sau 30 phút, hai xe gặp nhau lần đầu tại C. Khi đến B và A tương ứng, các xe lập tức quay trở lại, gặp nhau lần thứ hai tại D. Biết $AB=2CD$. Tính quãng đường AB và vận tốc mỗi xe. Trả lời theo thứ tự (AB tính bằng km, vận tốc X, vận tốc Y tính bằng km/h).
Một số học sinh đứng thành vòng tròn. Cô giáo phát kẹo theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ một bạn bất kỳ: bạn đầu nhận 1 viên, bạn thứ hai 2 viên, bạn thứ ba 3 viên, cứ mỗi lượt phát sau nhiều hơn lượt trước 1 viên. Tổng số kẹo phát ở vòng thứ hai nhiều hơn vòng đầu 100 viên. Có bao nhiêu học sinh?
Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $\angle BAC=40^\circ$. Lấy $D$ bất kỳ trên cạnh $BC$, khác $B,C$. Gọi $M$ là trung điểm $BD$, kẻ $DH\perp AB$ ($H\in AB$). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc AM, cắt DH tại N. Tính số đo góc $ANM$ theo độ.
Về phía ngoài tam giác $ABC$, dựng các tam giác đều $ABD$ và $ACE$. Gọi F là điểm bên ngoài tam giác sao cho $FB=FC$ và $\angle BFC=120^\circ$. Chứng minh $AF\perp DE$.
Hai người đi xe máy đồng thời từ A và B về phía nhau. Người thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại; người thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Lần gặp đầu cách A 15 km; lần gặp thứ hai cách B 9 km, và lúc đó họ đi ngược chiều nhau. Tính độ dài AB.