VTMO 2026 - Lớp 8 - Bán kết - SET 05 - Tự luyện tập

Một trăm học sinh mang số $1$ đến $100$ đứng thành hàng. Ở lần $k$, các bạn có số chia hết cho $k$ bước một bước sang trái nếu $k$ lẻ, sang phải nếu $k$ chẵn. Sau đủ $100$ lần, bao nhiêu bạn trở về vị trí ban đầu?

Tính $2012^2-2011\cdot2013$.

Bình có mười đoạn thẳng dài $1,2,\ldots,10$. Có bao nhiêu cách chọn ba đoạn lập thành một tam giác không suy biến?

Kiến vàng xuất phát từ $B$, kiến đen từ $C$ trên các cạnh tam giác $ABC$, với $AB=20$ dm, $AC=30$ dm, $BC=40$ dm. Hai con xuất phát cùng lúc, vận tốc không đổi; kiến vàng đi $B\to A\to C\to B$, kiến đen đi $C\to A\to B\to C$. Chúng gặp lần đầu tại $A$, lần tiếp theo tại $M\in BC$. Tính $BM$ (dm).

Hộp chứa các viên bi mang số $1$ đến $50$. Cần lấy ít nhất bao nhiêu viên không nhìn để chắc chắn có hai số trên bi có tích là số chính phương?

Một khối tứ diện đều có mọi cạnh bằng $6\sqrt2$ cm được thả chìm hoàn toàn trong bể lập phương cạnh $12$ cm. Khi lấy khối ra, mực nước hạ xuống bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=6$ cm. Lấy $M\in AB$, $N\in AC$ sao cho $AM=4$ cm, $AN=2$ cm. Lấy $P,Q\in BC$ để $PM$, $QN$ vuông góc với $MN$. Tính diện tích tứ giác $MNQP$ (cm²).

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $(x^2-1)(x^2-10)(x^2-20)<0$?

Với số nguyên dương $n$, chữ số tận cùng của $n^3+3n^2+3n$ là $4$. Tìm chữ số tận cùng của $31n^2+n+2021$.

Phân số tối giản $a/b$ có tính chất: thêm $36$ vào cả tử và mẫu thì phân số mới bằng một nửa phân số ban đầu. Tính $a+b$.

Cho $A=1^3+2^3+\cdots+12^3$. Có bao nhiêu khẳng định đúng: (1) $A$ chia hết cho $12$ nhưng không chia hết cho $13$; (2) chia hết cho $13$ nhưng không chia hết cho $12$; (3) là số chính phương; (4) chia hết cho $156$; (5) chia hết cho $169$?

Đặt các viên xúc xắc sát nhau thành một hàng thẳng trên bàn. Đếm mọi mặt lộ ra theo mọi hướng: hai viên có $8$ mặt, ba viên có $11$ mặt. Nếu thấy $50$ mặt thì có bao nhiêu viên?

Có $25$ con hươu cao cổ với chiều cao đôi một khác nhau. Mỗi lượt chỉ đưa ra năm con và xếp thứ tự chiều cao. Hãy chỉ cách tìm con cao nhất, cao thứ hai và cao thứ ba bằng bảy lượt.

Giải phương trình $\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x-1}=0$.

Trên mặt phẳng tọa độ, hình chữ nhật $OMNP$ có $O=(0,0)$, $M=(0,5)$, $N=(10,5)$, $P=(10,0)$. Có bao nhiêu điểm nguyên $(x,y)$ nằm hẳn bên trong hình, không kể cạnh, thỏa $x+y<10$?

Ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $I$. Các góc $\angle BIC,\angle CIA,\angle AIB$ có tỉ lệ $8:9:13$. Tính góc $A$ (độ).

Giải phương trình $\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{3-2x}{2-x}=0$.

An, Bình, Châu mỗi bạn nói hai câu về tuổi Dũng. An: “Dũng không phải $10$ tuổi. Dũng $11$ tuổi.” Bình: “Dũng không phải $11$ tuổi. Dũng không phải $9$ tuổi.” Châu: “Dũng không phải $12$ tuổi. Dũng $10$ tuổi.” Có một bạn đúng cả hai câu, một bạn đúng một câu, một bạn sai cả hai câu. Dũng bao nhiêu tuổi?

Nam nêu bốn nhận xét về số $A$: $A-4$ là số nguyên tố; $A-5$ là số chính phương; $4A-3$ là số chính phương; $4A+12$ có đúng sáu ước nguyên dương. Biết đúng một nhận xét sai, tìm $A$.

Cho $4^a=5$, $5^b=6$, $6^c=7$, $7^d=8$. Tính $abcd$.