VTMO 2026 - Lớp 8 - Chung kết - SET 9 - Tự luyện tập

Trên bảng có hai số $2$ và $4$. Hùng viết thêm số mới theo quy luật: chọn các số $a,b$ có sẵn trên bảng và viết một số dạng $3a+1$, $5b+2$ hoặc $2ab+a+b$. Trong các số Hùng đã viết có thể có $2024$ không? Vì sao?

Cho $a$ là số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh $A=(a+2013)(a+2011)(a+2009)(a+2007)+16$ là số chính phương.

a) Cho tứ giác lồi $ABCD$, $I$ là trung điểm $AC$, trên $AC$ lấy $M$ sao cho $AM=\sqrt2\,AI$. Đường qua $M$ song song $BC$ cắt $AB$ tại $E$; đường qua $M$ song song $DC$ cắt $AD$ tại $F$. Chứng minh $S_{IEF}=\tfrac12S_{MDB}$. b) Cho tam giác nhọn $ABC$, $AM$ là trung tuyến ($M\in BC$), $BE$ là đường cao ($E\in AC$), $AM$ cắt $BE$ tại $K$. Biết $AM=BE$. Chứng minh $AC=\sqrt3\,BK$.

Cho dãy $0;\ 01;\ 0110;\ 01101001;\ 0110100110010110;\ldots$. Mỗi số hạng tiếp theo được tạo bằng cách nối số “bù” của số hạng trước vào sau nó; số bù thu được khi đổi $0$ thành $1$, $1$ thành $0$. Ví dụ số bù của $0110$ là $1001$, nên số hạng tiếp là $01101001$. Số hạng thứ $12$ có $2048$ chữ số. Chữ số thứ $2016$ từ trái sang phải là chữ số gì?

Cho $f(x)=x^{2016}+2x^{2015}-3x+4$, $g(x)=x^2+3x+2$. Tìm đa thức dư khi chia $f(x)$ cho $g(x)$.