VTMO 2026 - Lớp 6 - Chung kết - SET 2 - Tự luyện tập

Cho $A=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2014}+2^{2015}$. Tìm số dư khi chia $A$ cho 31.

Các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn
$$\text{ƯCLN}(a,b,c)=b,\qquad \text{ƯCLN}(b,c,d)=c,$$
$$\operatorname{BCNN}(a,b,c)=60,\qquad \operatorname{BCNN}(b,c,d)=600.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a+b+c+d$.

Có hai vòi nước dùng để làm đầy một bể. Mỗi phương án sau đều làm đầy bể:
• Phương án 1: mở vòi A trong 7 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi B trong 14 giờ.
• Phương án 2: mở vòi A trong 10 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi B trong 2 giờ.

Phương án 3: mở vòi A trong 5 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi B. Cần mở vòi B trong bao lâu?

Làm rõ mô hình: mỗi phương án bắt đầu với cùng một bể rỗng; lưu lượng mỗi vòi không đổi và nước không bị thất thoát.

Vân đi từ A đến B, Phong đi từ B đến A.
• Nếu hai người xuất phát cùng lúc thì sau 3 giờ họ gặp nhau.
• Nếu Phong xuất phát trước Vân 90 phút thì họ gặp nhau sau 2 giờ 24 phút kể từ lúc Vân xuất phát.

Vân cần xuất phát trước Phong bao nhiêu phút để khi gặp nhau, quãng đường Vân đi được gấp bốn lần quãng đường Phong đi được?

Làm rõ mô hình: mỗi người đi với vận tốc không đổi và giữ nguyên vận tốc đó trong các tình huống.

Hai đội bóng, mỗi đội có 10 cầu thủ, thi đấu với nhau. Một đội gồm toàn người nói thật, đội kia gồm toàn người nói dối. Sau trận đấu, mỗi cầu thủ được hỏi: “Anh đã ghi bao nhiêu bàn?” Một số người trả lời “một”, Châu trả lời “hai”, một số người trả lời “ba”, những người còn lại trả lời “năm”. Châu nói thật hay nói dối, biết đội nói thật thắng với tỉ số 20–17?

Làm rõ mô hình: số bàn của mỗi đội bằng tổng số bàn do các cầu thủ của đội đó ghi.

Điền mỗi số của tập $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ vào đúng một ô của bảng $3\times3$ trong hình. Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo phải chia hết cho 9. Ô chính giữa chứa số $T$.

a) Tìm tất cả các giá trị có thể của $T$.

b) Với mỗi giá trị đó, cho một cách điền bảng thỏa mãn yêu cầu.

Hai xe xuất phát cùng lúc từ A đến B với vận tốc không đổi. Xe thứ nhất đi 75 km/giờ, xe thứ hai đi 50 km/giờ. Sau 6 giờ, xe thứ nhất gặp xe thứ ba đi ngược chiều với vận tốc không đổi. Sau đó 1,5 giờ, xe thứ ba gặp xe thứ hai. Tính vận tốc xe thứ ba.

Mẹ chia một túi kẹo cho Đức và Thảo theo tỉ lệ $4:5$. Sau đó, bố cho Đức thêm $1/3$ số kẹo Đức đang có, còn Thảo ăn $1/3$ số kẹo Thảo đang có. Tổng số kẹo lúc này ít hơn tổng ban đầu 2 viên. Tìm tổng số kẹo ban đầu của hai anh em.

Tăng chiều cao của một hình lập phương thêm 3 cm thì được một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần tăng thêm $72\text{ cm}^2$. Tính thể tích hình lập phương ban đầu.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác 0 thỏa mãn
$$2\left(\frac a{a'}\right)+3\left(\frac{b'}b\right)=5,$$
$$5\left(\frac b{b'}\right)+2\left(\frac{c'}c\right)=3.$$
Tính $abc+a'b'c'$.

Làm rõ ký hiệu: $a',b',c'$ là ba số nguyên khác 0 khác về ký hiệu với $a,b,c$; cả sáu ký hiệu đều biểu thị số khác 0.

Trong một trò chơi, A, B, C và D mỗi người mặc áo mang một trong các số 6, 7, 8. Người mặc áo số 7 luôn nói dối; người mặc áo số 6 hoặc số 8 luôn nói thật. Khi được hỏi tổng các số trên bốn chiếc áo, họ trả lời:
• A: “Tổng là 28.”
• B: “Tổng là 27.”
• C: “Tổng là 26.”
• D: “Tổng là 25.”

Tìm số áo của từng người.

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Lấy $E$ trên cạnh $AB$; trên đoạn $CE$ lấy $M,N$ theo thứ tự $C,M,N,E$ sao cho $CM=MN=NE$. Đường thẳng $DN$ cắt cạnh $AB$ tại $F$ như hình. Hai tam giác tô đậm $DMN$ và $ENF$ có tổng diện tích $12\text{ cm}^2$. Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD$.

Bác Thanh cưa một cây gỗ dài 4 m thành các khúc bằng nhau, mỗi khúc dài 20 cm. Mỗi lần cưa mất 8 phút, thời gian nghỉ giữa hai lần cưa liên tiếp là 2 phút. Bác bắt đầu lúc 7 giờ sáng. Bác làm xong lúc mấy giờ?

Làm rõ mô hình: cưa từng lần, không chồng các khúc gỗ; bỏ qua độ dày lưỡi cưa. Không tính nghỉ trước lần cưa đầu hoặc sau lần cưa cuối.