AMO 2022 - Lớp 10

Câu hỏi 1

Tính $\sin^2 10^\circ+\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 70^\circ+\sin^2 80^\circ$.

1. $1$
2. $2$
3. $3$
4. $4$
5. $5$

Câu hỏi 2

Biết $f(x)=x^3(a\cdot2^x-2^{-x})$ là hàm số chẵn. Tìm $a$.

1. $1$
2. $2$
3. $3$
4. $4$
5. $5$

Câu hỏi 3

Hai góc nhọn $\alpha,\beta$ thỏa mãn $2\tan\alpha+3\sin\beta=7$ và $\tan\alpha-6\sin\beta=1$. Tính $\sin\alpha$.

1. $\frac13$
2. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
3. $\frac{3\sqrt7}{7}$
4. $\frac{5\sqrt5}{5}$
5. $\frac{10}{9}$

Câu hỏi 4

Cấp số nhân $(a_n)$ thỏa mãn $a_5a_6=4$. Tính $\log_2a_1+\cdots+\log_2a_{10}$. Theo điều kiện xác định của các lôgarit trong biểu thức, cả mười số hạng đều dương.

1. $2$
2. $4$
3. $5$
4. $8$
5. $10$

Câu hỏi 5

Đa thức $x^4-3x^3+5x^2+ax+b$ chia hết cho $x^2-2x+1$. Tính $ab$.

1. $-10$
2. $-5$
3. $-2$
4. $5$
5. $10$

Câu hỏi 6

Trong khai triển $(\sqrt[3]x+\sqrt x)^{50}$, có bao nhiêu số hạng có số mũ của $x$ là số nguyên?

1. $2$
2. $4$
3. $6$
4. $9$
5. $10$

Câu hỏi 7

Cho cấp số cộng $(A_n)$. Tổng $S_{2m-1}$ của $2m-1$ số hạng đầu bằng $19$ và $A_{m-1}+A_{m+1}-A_m^2=1$. Tìm $m$.

1. $25$
2. $20$
3. $15$
4. $10$
5. $5$

Câu hỏi 8

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $x^{2022}+y^2=2y$?

1. $1$
2. $2$
3. $3$
4. $4$
5. $5$

Câu hỏi 9

Biết $\log_a b+\log_b a=3$ và $a>b>1$. Tính $\log_a b-\log_b a$.

1. $-\sqrt5$
2. $-\sqrt3$
3. $\frac12$
4. $\sqrt3$
5. $\sqrt5$

Câu hỏi 10

Câu hỏi 11

Câu hỏi 12

Câu hỏi 13

Câu hỏi 14

Câu hỏi 15

Câu hỏi 16

Câu hỏi 17

Câu hỏi 18

Câu hỏi 19

Câu hỏi 20