AMO 2021 - Secondary 3 (Lớp 9)

Câu hỏi 1

$O$ là tâm đường tròn, $AC$ là đường kính dài 24 inch và $B$ nằm trên đường tròn. Dây $AB$ dài bằng bán kính. Tính độ dài cung nhỏ $AB$, theo inch.

1. Không đủ dữ kiện
2. $\pi$ inch
3. $2\pi$ inch
4. $2.5\pi$ inch
5. $4\pi$ inch

Câu hỏi 2

Cho $T_n=1+2+\cdots+n$, với $n$ là số nguyên dương. Tính $\sqrt{8T_n+1}$.

1. $n-1$
2. $n+1$
3. $2n+1$
4. $2n-1$
5. $3n+1$

Câu hỏi 3

Một bàn tròn có đường kính 12 foot. Hai người chọn chỗ ngồi ngẫu nhiên trên đường tròn. Xác suất để họ cách nhau ít nhất 6 foot là bao nhiêu? Làm rõ: các vị trí được chọn độc lập, đều trên đường tròn; khoảng cách được đo theo đoạn thẳng.

Chú thích hình: ft = foot.

1. $1/2$
2. $1/3$
3. $2/3$
4. $1/4$
5. $3/4$

Câu hỏi 4

Với $x$ thực, cho $f(x)=2^x-15$ và $g(x)=5x+6$. Tính $f^{-1}\left(g\left(\frac15+2\right)\right)$.

1. 16
2. 5
3. 17
4. $1/5$
5. 19

Câu hỏi 5

Hai cột thẳng đứng $AB$ và $CD$ cao lần lượt 6 foot và 4 foot. Hai sợi dây căng nối đỉnh mỗi cột với chân cột kia, cắt nhau tại $K$. Điểm $K$ cao bao nhiêu so với mặt đất nằm ngang?

1. Không đủ dữ kiện
2. 2 foot
3. 2.4 foot
4. 2.5 foot
5. 3.2 foot

Câu hỏi 6

Nếu đẳng thức $\dfrac{16x-3}{10x^2-13x-30}=\dfrac{A}{2x-5}+\dfrac{B}{5x+6}$ đúng tại mọi giá trị xác định, hãy tính $A+B$.

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8

Câu hỏi 7

Một phi tiêu rơi ngẫu nhiên đều bên trong đường tròn lớn $C_2$, có đường kính 9 inch. Hình tròn tô màu $C_1$ đồng tâm có đường kính 3 inch. Xác suất phi tiêu rơi vào $C_1$ là bao nhiêu?

1. $1/3$
2. $1/4$
3. $1/6$
4. $1/9$
5. $1/\pi^2$

Câu hỏi 8

Hình vẽ biểu diễn đồ thị hai hàm số thực $f$ và $g$. Tính $g(f(2))$.

1. -1
2. 0
3. 1
4. 2
5. 3

Câu hỏi 9

Hai vectơ lực $\vec u=\overrightarrow{AF_1}$ và $\vec v=\overrightarrow{AF_2}$ tác dụng lên vật tại $A$. Dựa vào lưới ô vuông đơn vị, tìm vectơ tổng $\vec u+\vec v$.

1. $\langle3,7\rangle$
2. $\langle8,-1\rangle$
3. $\langle\sqrt5,-2\rangle$
4. $\langle6,-4\rangle$
5. $\langle1,8\rangle$

Câu hỏi 10

Adam và Bob thi đấu cờ tối đa năm ván; ai thắng ba ván trước thì thắng trận. Mỗi ván, Adam thắng với xác suất 0,6 và Bob thắng với xác suất 0,4. Tính xác suất Bob thắng trận, làm tròn đến hai chữ số thập phân. Giả sử các ván độc lập và không hòa.

1. 0.21
2. 0.24
3. 0.32
4. 0.41
5. 0.64

Câu hỏi 11

Tìm số dư khi chia $x^5-5x^4+11x^3-4x^2-24x+31$ cho $x-2$.

1. $x-1$
2. 0
3. -2
4. 5
5. 7

Câu hỏi 12

Tích của tất cả các nghiệm không thực của phương trình $x^4-16=0$ bằng bao nhiêu?

Chú thích hình: Re = trục phần thực; Im = trục phần ảo.

1. 4
2. -4
3. $4i$
4. $-4i$
5. 8

Câu hỏi 13

Giải hệ $\begin{bmatrix}2&-3\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22\\7\end{bmatrix}$.

1. $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-4\end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\4\end{bmatrix}$
4. $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$
5. $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-22\\-7\end{bmatrix}$

Câu hỏi 14

Cho $S=A+B+C$, trong đó mỗi số $A,B,C$ được chọn ngẫu nhiên từ $\{1,3,5,7\}$. Tính xác suất $S=11$. Làm rõ: các lần chọn độc lập, đều và được phép lặp lại.

1. $5/32$
2. $27/64$
3. $5/128$
4. $1/8$
5. $3/16$

Câu hỏi 15

Trong hệ thập phân, $923=9\cdot10^2+2\cdot10+3$. Hệ cơ số năm dùng các chữ số $\{0,1,2,3,4\}$, nên $321_5=3\cdot5^2+2\cdot5+1$. Số thập phân 237 được viết trong hệ cơ số năm như thế nào? Chú thích nguồn: danh sách chữ số thập phân trong bản gốc vô tình thiếu 6; danh sách đầy đủ là $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

1. 3212
2. 1422
3. 2214
4. 4122
5. 4321

Câu hỏi 16

Tính $360\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac1{4^i}\right)$.

Câu hỏi 17

Trong tam giác $ABC$, $BE$ là phân giác của $\angle ABC$, cắt $AC$ tại $D$; $AE\parallel BC$. Biết $AB=40$ cm, $BC=60$ cm và $AC=80$ cm, tính $AD$ theo cm.

Câu hỏi 18

Adam, Beth, Carla và David được xếp ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Gọi $p$ là xác suất Beth và David ngồi cạnh nhau. Tính $30p$.

Câu hỏi 19

Cho $A=2021/2022$ và $B=2022/2023$. Tính tổng tử số và mẫu số của phân số lớn hơn.

Câu hỏi 20

Với số nguyên dương $n$, gọi $\phi(n)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Tính $\phi(35)$.