AMO 2019 Trung học 2 (Lớp 8)

Tính $(75\times5\div3)+(75\div5\times3)$.

Rút gọn $\sqrt{2^8}-\sqrt[4]{2^8}-\sqrt[8]{2^8}$.

$56\%$ của $57$ bằng $76\%$ của số nguyên nào?



Chú thích hình: hai phần tô màu biểu thị hai lượng bằng nhau. Mỗi thanh được chuẩn hóa riêng; hai thanh không dùng chung một tỉ lệ độ dài.

$\overline{XYX}$ và $\overline{YXY}$ là các số nguyên có ba chữ số, trong đó $X,Y$ là hai chữ số khác nhau và khác $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|\overline{XYX}-\overline{YXY}|$.



Trong hình, “difference” là hiệu của hai số.

Ông bà Hansen cùng ba người con ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách ngồi nếu bố mẹ ngồi cạnh nhau? Các cách chỉ khác nhau bởi phép quay được tính là một; các cách đối xứng gương được tính là khác nhau. Trong hình, trường hợp 1 và 2 chỉ khác nhau bởi phép quay, còn trường hợp 3 là khác.

Tính $1-2+3-4+5-6+\cdots+99-100+101$.

Gọi $G$ là giá trị lớn nhất của $(x-y)/x$, trong đó $x$ là ước nguyên dương của $131$ và $y$ là ước nguyên dương của $197$. Tìm $524G$.



Trong hình, “x divides 131” nghĩa là $x$ là ước của $131$; “y divides 197” nghĩa là $y$ là ước của $197$.

$P,Q,R$ là các số nguyên tố thỏa mãn $P+Q+R=65$ và $2Q+3R=53$. Tìm $P$.



Trong hình, “P, Q, R prime” nghĩa là $P,Q,R$ đều là số nguyên tố.

Một con chó sủa mỗi $b$ phút và một con mèo kêu mỗi $m$ phút. Các số $b,m$ là số nguyên tố, với $1\le b\le10$ và $10\le m\le20$. Trong hai giờ, nhiều nhất có bao nhiêu lần chúng cùng phát tiếng? Làm rõ: chọn thời điểm để số lần là lớn nhất và tính cả lần cùng phát tiếng ở đầu khoảng thời gian.



Trong hình, “min” là phút; “prime” nghĩa là số nguyên tố.

Trên đoạn thẳng nối $X(-4,4)$ và $Y(12,-8)$ có bao nhiêu điểm mà cả hai tọa độ đều là số nguyên?

Tính $\frac{123456789^2-123455678^2-1111^2}{1111\times123455678}$.

Nhiều nhất có bao nhiêu số nguyên liên tiếp có tổng bằng $-33$?



Trong hình, “sum −33” nghĩa là tổng bằng $-33$.

Ba mặt của một hình hộp chữ nhật có diện tích $42$, $72$ và $84$ xăng-ti-mét vuông. Tìm thể tích theo xăng-ti-mét khối. Làm rõ: đây là ba mặt đôi một vuông góc.

Ba mươi ô vuông đơn vị được xếp thành hình bậc thang như hình. Có bao nhiêu hình vuông có độ dài cạnh nguyên trong hình? Đếm các hình vuông có cạnh nằm trên các đoạn lưới đã vẽ.

Andy và Brett xuất phát tại hai điểm đối diện trên đường chạy tròn dài $600$ feet và chạy theo các chiều được vẽ. Andy chạy với vận tốc $4.3$ feet/giây, Brett chạy với vận tốc $5.5$ feet/giây. Sau bao nhiêu giây họ gặp nhau lần đầu?

Trong số có năm chữ số $\overline{ABBBA}$, $A$ và $B$ là hai chữ số khác nhau và khác $0$. Có bao nhiêu số như vậy chia hết cho $33$?



Trong hình, “divisible by 33” nghĩa là chia hết cho $33$.

Đúng một trong các mệnh đề sau về Betsy là sai: bạn ấy có ít nhất $11$ áp phích thể thao; ít nhất $20$; ít nhất $24$; ít nhất $28$. Nhiều nhất bạn ấy có bao nhiêu áp phích?



Trong hình, “at least” nghĩa là ít nhất.

Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số và có đúng ba ước nguyên dương?



Trong hình, “exactly 3 divisors” nghĩa là có đúng ba ước nguyên dương; $1$, dấu hỏi và $n$ tượng trưng cho ba ước.

Tìm số nguyên dương lớn nhất mà khi chia $377$, $127$ và $852$ cho số đó thì được cùng một số dư.

Stacy nói dối vào thứ Ba, thứ Tư, thứ Năm và nói thật vào các ngày khác. Anthony nói dối vào thứ Bảy, Chủ nhật, thứ Hai và nói thật vào các ngày khác. Vào ngày nào cả hai có thể nói: “Ngày mai tôi sẽ nói dối”? Quy ước thứ Hai $=001$, thứ Ba $=002$, …, Chủ nhật $=007$.



Chú thích hình: Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun lần lượt là thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư, thứ Năm, thứ Sáu, thứ Bảy, Chủ nhật; “lie” nghĩa là nói dối.