Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Điểm $P$ nằm trong tam giác đều $ABC$. Biết $\angle APB=120^\circ$ và $\angle BPC=130^\circ$. Nếu lấy các đoạn $AP,BP,CP$ làm ba cạnh của một tam giác mới thì góc lớn nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?
Hai đường tròn nhỏ bằng nhau bán kính $5$ cm và một đường tròn lớn bán kính $8$ cm nằm trong hình chữ nhật $ABCD$ như hình. Mỗi đường tròn nhỏ tiếp xúc cạnh đáy và cạnh đứng kề nó; đường tròn lớn tiếp xúc cạnh trên và cả hai đường tròn nhỏ. Biết $AB=34$ cm, tính diện tích $ABCD$ theo $\mathrm{cm}^2$.
Trong cuộc họp quanh bàn tròn, giám đốc chọn một nhóm ba người trong 25 chuyên viên tiếp thị. Xác suất có ít nhất hai người được chọn ngồi cạnh nhau là $m/n$, với $m,n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $m+n$.
Giả sử 25 chuyên viên ngồi liên tiếp quanh bàn tròn và mọi nhóm ba người có khả năng được chọn như nhau. Hiểu cụm “2 người ngồi cạnh nhau” của nguồn là có ít nhất một cặp kề nhau, kể cả nhóm ba người ngồi liên tiếp.
Mười hai học sinh được đánh số từ 1 đến 12. Mỗi em tung một đồng xu cân đối. Nếu được mặt ngửa, điểm bằng số thứ tự của em đó; nếu mặt sấp, điểm bằng 0. Xác suất tổng điểm chia hết cho 3 là bao nhiêu?
Giả sử mười hai lần tung đồng xu độc lập với nhau.
Trong hình thang $ABCD$, $AB\parallel CD$. Các điểm $M,N$ là trung điểm hai cạnh bên $AD,BC$. Đoạn $MN$ cắt $AC$ tại $P$ và $BD$ tại $Q$. Biết $AB=7$, $CD=13$, tính $PQ$.
Trong hình vuông $ABCD$, $AB=2$. Bốn đoạn thẳng, mỗi đoạn dài 2 và xuất phát từ một đỉnh khác nhau của hình vuông, có chung đầu mút $P$ nằm ngoài mặt phẳng hình vuông. Tính $\angle APB$ theo độ.
Trong hình thang $ABCD$, $AD\parallel BC$ và $\angle ADC=90^\circ$. Điểm $M$ là trung điểm của $AB$, $CM=13/2$ cm và $BC+CD+DA=17$ cm. Tính diện tích $ABCD$ theo $\mathrm{cm}^2$.
Trong tam giác $ABC$, $AB=AC$ và $\angle ABC=40^\circ$. Điểm $D$ thuộc $AC$, $BD$ là phân giác góc $ABC$. Kéo dài $BD$ qua $D$ đến $E$ sao cho $DE=AD$. Tính $\angle ECA$.
Ban đầu thùng $A$ chứa 11 lít cồn, thùng $B$ chứa 15 lít nước. Rót một lượng cồn từ $A$ sang $B$, rồi rót một lượng hỗn hợp từ $B$ trở lại $A$. Cuối cùng, nồng độ cồn trong $A,B$ lần lượt là $62{,}5\%$ và $25\%$. Đã rót bao nhiêu lít từ $B$ về $A$?
Dùng mô hình pha trộn thông thường: cồn ban đầu là nguyên chất, hỗn hợp được khuấy đều trước khi rót, không có hao hụt và thể tích chất lỏng cộng được.
