Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Tìm các số nguyên dương $x,y\lt 10$ thỏa mãn $2^x9^y=\overline{2x9y}$, trong đó dấu gạch trên chỉ số có bốn chữ số. Tính $x+y$.
Phân giác trong của $\angle B$ và phân giác ngoài của $\angle C$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $D$. Qua $D$, kẻ đường thẳng song song với $CB$, cắt $AC$ tại $L$ và $AB$ tại $M$ như hình. Hai cạnh bên $LC$ và $MB$ của hình thang $CLMB$ lần lượt dài 5 và 7. Tính $LM$.
Tính $\left(\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1{57}\right)+\left(\frac23+\frac24+\frac25+\cdots+\frac2{57}\right)+\left(\frac34+\frac35+\cdots+\frac3{57}\right)+\cdots+\left(\frac{55}{56}+\frac{55}{57}\right)+\frac{56}{57}$.
Dây chung $AB$ của hai đường tròn tâm $m$ và $n$ dài $2\sqrt3$. Dây này là một cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm $m$ và một cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm $n$. Tìm tỉ số diện tích hình tròn tâm $m$ và hình tròn tâm $n$.
Cách viết trong nguồn: “right hexagon” không phải mô tả chuẩn trong ngữ cảnh này. Trong bài tự luyện, hiểu đó là lục giác đều nội tiếp đường tròn.
Trong tam giác cân $ABC$ có $AB=AC$, kéo dài $CB$ qua $B$ đến $P$. Đường thẳng qua $P$ song song với đường cao $BF$ cắt $AC$ tại $D$, với $D$ nằm giữa $A$ và $F$. Từ $P$, hạ đường vuông góc xuống đường thẳng $AB$ tại $E$, sao cho $B$ nằm giữa $E$ và $A$. Biểu diễn $BF$ theo $PD$ và $PE$.
Phương trình $x^2+(2a-1)x+a^2=0$ có hai nghiệm thực dương, với $a$ là số nguyên. Gọi hai nghiệm là $x_1,x_2$. Tính $\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|$.
