Chữ số 0 xuất hiện bao nhiêu lần trong danh sách các số nguyên từ 1000 đến 2021, kể cả hai đầu mút? Đếm số lần xuất hiện của chữ số, không chỉ đếm các số chứa nó.
Ba khối lập phương có thể tích $1\text{ cm}^3$, $8\text{ cm}^3$ và $125\text{ cm}^3$ được dán lại thành một khối. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của khối đó bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$? Dùng mô hình tiếp xúc mặt của nguồn: các khối nguyên vẹn, không chồng lấn, các cạnh tương ứng song song; được phép tiếp xúc một phần mặt.
Trong hình, $ABCD$ là hình vuông; $AHD$ và $BCG$ là các tam giác đều. $I,J$ là các giao điểm như hình. Biết cạnh hình vuông bằng 6, tìm diện tích hình thoi $IGJH$. Hình nguồn chỉ minh họa, không theo tỉ lệ.
Trong hình, $AB$ là đường kính của đường tròn; $C,D$ nằm cùng phía đối với đường kính đó. Biết $\angle ABC=75^\circ$ và $\angle DAC=33^\circ$, tìm số đo $\angle DCA$ theo độ.
Cộng 1 vào tử số và 5 vào mẫu số của một phân số cho cùng giá trị với việc trừ 5 ở tử số và trừ 1 ở mẫu số. Tìm phân số đó nếu giá trị thập phân của nó là 1.5. Chọn cặp tử số–mẫu số được ghi thỏa mãn các phép biến đổi; phân số ban đầu không nhất thiết tối giản.
Cho hai vectơ trong không gian Euclid ba chiều: $4\hat\imath+9\hat\jmath-13\hat k$ và $7\hat\imath+6\hat k+5\hat\jmath$, với $\hat\imath,\hat\jmath,\hat k$ là các vectơ đơn vị chuẩn đôi một vuông góc. Tìm tích vô hướng của hai vectơ.
Một đường tròn bán kính 1 lăn không trượt bên trong tam giác vuông có ba cạnh dài 9, 12 và 15, đi hết một vòng rồi trở về vị trí ban đầu. Tâm đường tròn đi được quãng đường bao nhiêu? Dùng quỹ đạo lý tưởng của nguồn: dọc mỗi cạnh, đường tròn luôn tiếp xúc trong với cạnh đó, chuyển cạnh tại vị trí tiếp xúc đồng thời hai cạnh; không có chuyển động vòng thêm.
Tìm tổng các số nguyên dương $p,q,r$, biết
$$\gcd(p,q)=45,\quad\gcd(q,r)=21,\quad\gcd(p,r)=3,$$
$$\operatorname{lcm}(p,q)=4725,$$
$$\operatorname{lcm}(q,r)=11025,\quad\operatorname{lcm}(p,r)=6615.$$
Ở đây $\gcd$ là ước chung lớn nhất và $\operatorname{lcm}$ là bội chung nhỏ nhất.
