AMO 2027 Lớp 9-11 SET 2 - Tự luyện tập

Tìm số nguyên dương lớn nhất mà khi chia 298, 348 và 873 cho số đó, ta được cùng một số dư.



Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Gọi $S$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $7S$ có 2019 chữ số trong hệ thập phân. Tìm chữ số hàng chục của $S$.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Rút gọn: $$\sqrt[5]{9^{10}}+\sqrt{(-2)^6}.$$ Dùng căn bậc hai không âm.



Chọn một đáp án.

Bảy đường thẳng có thể chia phần bên trong một đường tròn thành nhiều nhất bao nhiêu miền?

Chọn một đáp án.

Có thể làm bao nhiêu vòng cổ khác nhau gồm 7 hạt cách đều, mang 7 màu khác nhau, mỗi màu dùng một lần? Theo cách hiểu của lời giải nguồn, các vòng chỉ khác nhau do quay hoặc lật vòng được coi là giống nhau.



Chọn một đáp án.

Trục căn thức ở mẫu của
$$\frac1{\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1}.$$
Nguồn in các biểu thức sau, được giữ nguyên để đối chiếu:
- A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2+1}{2}$
- B. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1}{2}$
- C. $\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1$
- D. $\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2+1$
- E. $\sqrt6-\sqrt3-\sqrt2+1$

Trong bản này, nhập biểu thức đã trục căn thức thay vì chữ cái đáp án. Viết kết quả dưới dạng $(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)/e$, trong đó năm hệ số là các số nguyên không có ước chung lớn hơn 1 và $e>0$. Nhập a;b;c;d;e theo đúng thứ tự, ngăn cách bằng dấu chấm phẩy, không dùng dấu cách. Giữ đúng dấu, kể cả hệ số âm.

Năm số hạng đầu của một dãy là $5,9,16,28,47$. Tìm tổng số hạng thứ tám và số hạng thứ bảy.
Dùng quy luật tiếp tục mà nguồn dự định: sai phân bậc ba không đổi. Sai phân bậc một là số hạng sau trừ số hạng trước; lặp lại phép lấy hiệu để có sai phân bậc hai và bậc ba.

Chọn một đáp án.

Hai điểm $(0,1)$ và $(1,2)$ là các đỉnh của một hình vuông. Tìm tổng các tung độ của tất cả những đỉnh có thể nằm đối diện với $(0,1)$ qua đường chéo. Hai đỉnh đã cho không nhất thiết kề nhau; xét mọi hình vuông có thể.

Chọn một đáp án.

Có thể có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên liên tiếp có tổng bằng $-100$?

Chọn một đáp án.

Cho $f(x)=2^x+86$ và $g(x)=3x^2+x-4$. Tính $$g\!\left[f^{-1}(g(14))\right].$$ Ký hiệu $f^{-1}$ chỉ hàm ngược, không phải nghịch đảo của giá trị hàm $f$.



Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Vòng quay trong hình có năm phần bằng nhau ghi các số 1, 2, 3, 4 và 5. Quay một lần. Nếu kim chỉ vào số chính phương, tung một đồng xu cân đối một lần. Nếu kim chỉ vào số nguyên tố, tung đồng xu hai lần. Xác suất xuất hiện ít nhất một lần mặt ngửa là bao nhiêu? Đồng xu cân đối có xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng $1/2$ ở mỗi lần tung.
Giả sử các lần tung độc lập với nhau và độc lập với vòng quay. Viết xác suất dưới dạng phân số tối giản $p/q$, $q>0$, rồi nhập $p+q$.



Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Tìm hiệu dương giữa tổng các giá trị nguyên $x$ và tổng các giá trị nguyên $y$ thỏa mãn $x^y=256$.
Dùng quy ước của nguồn: cộng các hoành độ $x$ và các tung độ $y$ của tất cả các cặp nghiệm có thứ tự $(x,y)$ phân biệt; một tọa độ lặp lại được tính một lần cho mỗi cặp chứa nó.

Chọn một đáp án.

Coi các số nguyên âm là Khối Lạnh và các số nguyên dương là Khối Nóng. Thêm 5 Khối Nóng làm nhiệt độ chất lỏng tăng năm độ, còn thêm 5 Khối Lạnh làm nhiệt độ giảm năm độ. Cần lấy ra bao nhiêu Khối Lạnh từ chất lỏng đang ở $-97$ độ để đạt $-42$ độ? Dùng mô hình số nguyên này, trong đó mỗi khối làm nhiệt độ thay đổi một độ.



Chọn một đáp án.

Cho $$x^4+x^3+x^2+x+1=0,$$ hãy tìm giá trị của $x^{2021}$.
Xét $x$ là một số đại số hoặc số phức thỏa phương trình; không giả sử có nghiệm thực. Giữ đúng biểu thức cần tính đã in. Trong bản này, nhập biểu thức đơn giản nhất theo $x$, dùng chữ cái thường, thay vì buộc kết quả thành một số cụ thể.

Có bao nhiêu số chính phương nằm giữa $7^6$ và $4^8$? Không tính hai đầu mút.



Chọn một đáp án.