AMO 2027 Lớp 8-9 SET 13 - Tự luyện tập

Bài tập 13. Trong tứ giác $AECF$ dưới đây, $AB=3\text{ cm}$, $CE=4\text{ cm}$ và $CD=AF=2\text{ cm}$. Tìm diện tích (tính bằng $\text{cm}^2$) của tứ giác $ABCD$.

Câu 43. Nếu $N=2^A\times5^B\times101^C$, tìm giá trị nhỏ nhất của $A\times B\times C$ sao cho $2020N$ là một số lập phương hoàn chỉnh.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng quy ước phân tích thừa số nguyên tố: A, B, C là số nguyên không âm.

Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách chọn 6 số từ tập $\{1,2,\ldots,9\}$ sao cho tổng của 6 số này chia hết cho 3?

Ví dụ 9. Các hình sau được tạo bởi các hình vuông và các chấm.

a) Tính số chấm trong hình 10.

b) Tính số chấm trong hình 100.

c) Hình thứ mấy có 132 chấm?

d) Hình thứ mấy có 288 chấm?

**Quy ước nhập do biên soạn:** Tiếp tục cách dựng hàng hình vuông đã cho. Nhập đủ bốn đáp số theo thứ tự a–d, ngăn bằng dấu phẩy.



Nhãn hình gốc: Figure 1 = Hình 1; Figure 2 = Hình 2; Figure 3 = Hình 3.

**Lưu ý nhập đáp án (biên soạn):** Không chèn khoảng trắng trước hoặc sau dấu phẩy.

Câu 7. Jack muốn đạp xe từ nhà mình đến nhà Jill, nằm cách nhà Jack ba dãy phố về phía đông và hai dãy phố về phía bắc. Sau khi đi mỗi dãy phố, Jack có thể đi tiếp về đông hoặc bắc, nhưng phải tránh một giao lộ nguy hiểm nằm cách nhà mình một dãy phố về đông và một dãy phố về bắc. Có bao nhiêu cách để cậu đến nhà Jill khi đạp xe tổng cộng năm dãy phố?

Bài tập 10. Một người bán hoa quả có một số táo. Nếu xếp chúng thành các nhóm 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hoặc 9 quả, người ấy luôn còn thừa một quả cho mỗi cách chia nhóm. Số táo ít nhất người ấy có thể có là bao nhiêu?

**Quy ước nhập do biên soạn:** Chấp nhận số nhỏ nhất theo cả hai cách: chỉ yêu cầu số dư, hoặc yêu cầu ít nhất một nhóm đầy đủ ở mọi kích thước. Lời giải nêu rõ từng cách.

Câu 25. Hai thị trấn $A$ và $B$ nằm phía bắc một con đường thẳng theo hướng đông–tây (như hình dưới đây). Hiện chúng chưa có đường nối với con đường đó hoặc nối với nhau. Cư dân hai thị trấn quyết định xây hai con đường mới, mỗi đường từ một thị trấn đến đường hiện có, sao cho lộ trình nối hai thị trấn qua đường hiện có là ngắn nhất. Biết $AC=10\text{ km}$, $BD=20\text{ km}$ và $CD=40\text{ km}$, tìm độ dài lộ trình ngắn nhất từ thị trấn $A$ đến thị trấn $B$.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Hai đường mới được phép chung điểm nối trên đường hiện có. Nhập khoảng cách nhỏ nhất bằng kilômét.



Nhãn hình gốc: Town A = Thị trấn A; Town B = Thị trấn B; Road = Đường.

Bài tập 10. Tại một sân bóng địa phương, các ghế băng dài 8 mét. Nếu hai người ngồi ngẫu nhiên trên một ghế băng, xác suất để họ cách nhau ít nhất hai mét là bao nhiêu?

**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng hai vị trí điểm độc lập, phân bố đều trên ghế 8 mét, không xét bề rộng chỗ ngồi.

Ví dụ 1. Hai vòi $A$ và $B$ có thể làm đầy một bể trong lần lượt 20 phút và 30 phút.

a) Nếu mở đồng thời cả hai vòi, tìm thời gian làm đầy bể.

b) Nếu mở vòi $A$ trước, sau 10 phút mở thêm vòi $B$, tìm tổng thời gian làm đầy toàn bộ bể.

c) Nếu mở vòi $A$ trong 4 phút rồi đóng lại, tìm thời gian để riêng vòi $B$ làm đầy phần còn lại của bể.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Nhập ba thời gian bằng phút theo thứ tự a–c, ngăn bằng dấu phẩy.

**Lưu ý nhập đáp án (biên soạn):** Không chèn khoảng trắng trước hoặc sau dấu phẩy.

Ví dụ 9. Hình vẽ biểu diễn tam giác $PQR$.

a) Tìm tổng diện tích các phần tô đậm theo $x$.

b) Nếu $x=7$, tìm tổng diện tích các phần tô đậm.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Nhập biểu thức theo x cho a và diện tích bằng số cho b, ngăn bằng dấu phẩy; bỏ đơn vị. Ví dụ định dạng, không phải đáp số: 5x, 35.



**Lưu ý nhập đáp án (biên soạn):** Không chèn khoảng trắng ở bất kỳ vị trí nào trong đáp án nhập, kể cả trong biểu thức. Áp dụng quy tắc này cho ví dụ định dạng ở trên.

Bài tập 15. BCNN của ba số $P,Q,R$ là $2^5\times3^6\times5^2\times7^2$. Biết $P=2^4\times3^5\times7^2$ và $Q=2^5\times3^2\times5\times7$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $R$, viết dưới dạng lũy thừa.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng dạng lũy thừa với ^ chỉ số mũ, * hoặc × chỉ phép nhân; ví dụ định dạng, không phải đáp số: 2^3*7^2.

Ví dụ 8. Một bình chứa nước cao $12\text{ cm}$. Thả vào bình một hòn đá có thể tích $585\text{ cm}^3$. Tìm chiều cao mới của nước nếu bể có đáy hình vuông cạnh $15\text{ cm}$.

**Quy ước nhập do biên soạn:** Giả sử đá chìm hoàn toàn, thành bể thẳng đứng, không tràn hay mất nước. Nhập chiều cao mới bằng xentimét.

Bài tập 4. Quan sát quy luật dưới đây. Bạn sẽ tìm thấy số 300 ở đâu?

**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng quy luật cộng 7 thể hiện ở sáu hàng nhất quán và nhập nhãn hàng. Lỗi nguồn ở hàng F được nêu trong lời giải.

Câu 28. Biết $-16\le2(y-7)\le0$ và $-7\le x\le8$, tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $xy$.

Câu 12. Năm 2008, có 21 bang có từ 10 phiếu đại cử tri trở lên như bảng.



Bảng dịch: Số phiếu đại cử tri — Tần số (số bang): 10 — 4; 11 — 4; 12 — 1; 13 — 1; 15 — 3; 17 — 1; 20 — 1; 21 — 2; 21 — 1; 31 — 1; 34 — 1; 55 — 1.

Dựa vào bảng, trung vị của số phiếu đại cử tri của 21 bang là bao nhiêu?