AMO 2027 Lớp 8-9 SET 11 - Tự luyện tập

Hình vẽ gồm ba đường tròn tiếp xúc nhau, mỗi đường tròn bán kính 5 cm, và một đường thẳng tiếp xúc hai đường tròn. Tổng chu vi của hai miền tô đậm là $k\pi+t$. Tìm $k+t$.

Số có năm chữ số $\overline{2018U}$ chia hết cho 9. Khi chia số này cho 8, số dư bằng bao nhiêu?

Cô Walter cho năm học sinh trong lớp toán làm một bài kiểm tra. Cô nhập điểm theo thứ tự ngẫu nhiên vào bảng tính; sau mỗi lần nhập, bảng tính tính lại điểm trung bình. Cô nhận thấy trung bình sau mỗi lần nhập luôn là số nguyên. Các điểm theo thứ tự tăng dần là 71, 76, 80, 82, 91. Điểm cuối cùng cô nhập là bao nhiêu?

Một số học sinh dự bị (Preps) đang họp trong phòng. Sau khi 45 em rời đi, số người trong phòng bằng $\frac58$ lúc đầu. Ban đầu có bao nhiêu em trong phòng?

Tại trường trung học cơ sở Euler, 198 học sinh bỏ phiếu về hai vấn đề trong cuộc trưng cầu của trường. Có 149 em ủng hộ vấn đề thứ nhất và 119 em ủng hộ vấn đề thứ hai. Nếu đúng 29 em phản đối cả hai, có bao nhiêu em ủng hộ cả hai vấn đề?

Hai vòi B và F riêng rẽ bơm đầy bể lần lượt trong 10 giờ và 15 giờ. Nếu mở cả hai cùng ống tháo M thì bể đầy trong 30 giờ. Riêng ống tháo cần bao lâu để tháo cạn bể đầy?

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(a,b)$ thỏa mãn $a^b=64$?

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập tất cả các số có năm chữ số với tổng chữ số bằng 43. Xác suất số được chọn chia hết cho 11 bằng bao nhiêu?

Hình dưới đây là hình vuông $ABCD$ có
$$AE=EF=FB=BG=GH=HC=CI=IJ=JD=DK=KL=LA=20\mathrm{cm}.$$
Tìm diện tích hình vuông $MNPQ$ theo $\mathrm{cm}^2$.

Malcolm muốn đến thăm Isabella sau giờ học hôm nay. Cậu biết tên đường nhưng không biết số nhà. Isabella nói: “Số nhà của mình có hai chữ số, và đúng ba trong bốn phát biểu sau về nó là đúng.”

i. Nó là số nguyên tố.

ii. Nó là số chẵn.

iii. Nó chia hết cho 7.

iv. Một chữ số của nó là 9.

Thông tin này giúp Malcolm xác định số nhà Isabella. Chữ số hàng đơn vị là bao nhiêu?

Đây là một dãy hình tam giác. Hình tiếp theo của dãy sẽ có bao nhiêu tam giác đen?

Tuổi trung bình của 5 bạn nam là 13 năm 6 tháng. Một bạn nam 16 tuổi gia nhập nhóm. Tìm tuổi trung bình của 6 bạn.

**Hướng dẫn nhập do biên soạn:** Nhập tuổi trung bình bằng số tháng (dùng 12 tháng trong một năm).

Riêng vòi A bơm đầy bể trong 25 giờ, riêng vòi B bơm đầy cùng bể trong 20 giờ. Ban đầu mở đồng thời cả hai. Sau bao lâu cần đóng A để bể đầy sau tổng cộng 12 giờ?

Hình vẽ mô tả một phần thành phố, các đường kẻ là đường đi. Charles đi từ $X$ đến $Y$ theo đường, không “quay ngược” (nghĩa là chỉ đi xuống hoặc sang phải trong hình). Có bao nhiêu cách đi từ $X$ đến $Y$?

Tìm chu vi và diện tích hình dưới đây, được tạo thành từ các đường tròn khác nhau.

**Hướng dẫn nhập do biên soạn:** Nhập đủ hai đáp số chính xác theo thứ tự chu vi, diện tích, ngăn bằng dấu phẩy. Viết pi hoặc π cho hằng số đường tròn; bỏ đơn vị. Không thay pi bằng số gần đúng.



**Lưu ý nhập đáp án (biên soạn):** Không chèn khoảng trắng trước hoặc sau dấu phẩy.